方程思想（1）
概述与要点
方程知识是初中数学的核心内容，新的数学课程标准提出，要让学生经历利用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界中一类数学关系和探求未知量的有效的数学模型.所谓方程思想就是从分析问题的数量关系着手，适当设出未知数，运用定义、公式、性质、定理和题设中的条件，把所研究的数学问题中的已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组，从而获得问题的解的一种思想，在解决有关实际问题时通过建立方程化实际问题为数学问题，从而寻求解决问题的方法.
例题选讲
例1．已知实数ａ、ｂａ＋ｂ
解得
∴　ａ2＋ｂ2＋ａｂ＝1.
例2已知反比例函数与一次函数的图像的一个交点的纵坐标是－4，求的值.
解：由已知，设两图像的一个交点为
得
解得： 
例3已知关于的方程两个不相等的实根中有一个根为0，是否存在实数ｋ，使关于的方程的两个实数根之差的绝对值为1？若存在，求出ｋ的值；若不存在，请说明理由.
解：∵　方程有两个不相等的实数根，
解得　　
∵　方程有一个根为0，
∴　，
解得　　
又　∵　，
∴　
当　时，方程为.
　　　　　　　∵　　是方程的两实数根，
　　　　　　　∴　　
　　　　　　　若　　　则有
　　　　　　　∴　　
　　　　　　　∴　　.
　　　　　　　解得　　
　　　　　　　当时，方程为，符合要求.
　　　　　　　当时，方程为，也符合要求.
　　　　　　　∴　存在实数，符合要求.
例4．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元.工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金角度考虑，应该选择哪个工程队？为什么？
解：设甲工程队单独完成此工程需要天，每天需费用元，则乙工程队单独完成此工程需要天，每天需费用元.
　　根据题意，得　，整理得.
　　解得　（不合题意，舍去），
　　经检验：是原方程的解，
∴　
又　，
解得＝1000.
∴甲工程队单独完成此工程需费用10×1000＝10000（元），乙工程队单独完成此工程需要费用15×700＝10500（元）.
答：单独完成此工程，若从节省资金角度考虑，应该选择甲工程队完成.
三　习题精练
1.　关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及方程的根.
2.　已知，试判断关于的方程与
有没有公共根.请说明理由.
3.　已知一元二次方程.
当取何值时，方程有两个相等的实数根？
设是方程的两个实数根，且满足求的值.
4.（2004哈尔滨）“利海”通讯商场，计划用60000元从厂家购进某部若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元.（1）若商场同时购进两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量.
5.　如果为互不相等的实数，且满足关系式与，求的取值范围.
参考答案
1、　　　
2、没有公共根.　若有公共根.，则有整理得.又∴
∴　这时第一个方程变为，这不可能成立，所以这两个方程无公共根.
3、　⑴　　，⑵.
4、　⑴　有两种购买方法：甲种型号手机购买30部，乙种型号手机购买10部；或甲种型号手机购买20部，乙种型号手机购买20部. ⑵.三种可能：若乙种型号手机购买6部，则甲种型号手机购买26部，丙种型号手机购买8部；若乙种型号手机购买7部，则甲种型号手机购买27部，丙种型号手机购买6部；若乙种型号手机购买8部，则甲种型号手机购买28部，丙种型号手机购买4部.
5、∴∴
3

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