函数思想（2）
第2讲
实际生活中很多问题都可以用函数的有关知识来解决，有强烈的应用意识、善于应用函数知识解决实际问题，是一个初中学生应具有的基本能力. 
一、例题选讲
例1：如图3-3所示，公园要建造圆形的喷水池，
在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆
形水面中心，OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向
外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线
落下.为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高
OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.
（1） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的max.book118.com不致落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？（精确到0.1米）
分析：可适当建立坐标系：如图以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点.取最高点为B（1，2.25）.
解：（1）建立坐标系如图，设抛物线顶点为B，水流落水的路线与x轴交点为C，根据题意，A、B、C的坐标分别为（0 , 1.25）、(1 , 2.25) 、(x , 0).
抛物线设为y= a（x－1）2+2.25，把点A的坐标（0 , 1.25）代人,得
     1.25= a ( 0－1)2+2.25,     a= －1 ;
有   y= －（x－1）2+2.25，
令 y= 0，由0= －（x－1）2+2.25，
求得：x=－0.5 （不合题意，舍去） , x=2.5.
  所以水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.
   （2）由于抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y= -（x+m）2＋k ，
   将点A（0 ,1.25）及点C（3.5，0）代人，解方程组
          1.25= －（0＋m）2＋k
          0= －（3.5＋m）2＋k
     解得：m=， k=.
所以要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达到3.7米.
例2: 已知△ABC中，AC=BC=，∠C=900，AB上有一动点P，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F.
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4.
分析:（2）题中因为Rt△ACB面积为9，若所分三小块面积能趋于接近相等的话，那么是否存在P使3块面积都小于4，是一时不易判断的，也不易说清的，我们把范围分成三小段分别讨论，问题就能清楚了.
解 （1）如图3-4，△AEP的面积；
⊿PFB的面积；
矩形ECFO的面积.
（2）当时，△PFB的面积较大，
 ，
即在范围时，△PFB的面积不可能是小于4.
当时，矩形ECFD的面积，
即在这个范围变化时，矩形面积不可能小于4.
当时，△AEP面积较大， .
综上所述，在范围中，至少有一个值不小于4，所以这样P点AB上不存在.
例3: 农民阿富根想利用长为a的旧墙及可以围成24米长的旧材，
建造如图3-5所示的猪舍三间，它们的平面图是一排大小相等的长方形：
（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的
总面积S平方米与x有怎样的函数关系？
（2）请你为阿富根计算一下，如果猪舍的总
面积为32平方米，应安排猪舍的长BC和宽AB的
长度？又旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？
怎么影响？
（3）为了让猪生活得好，32平方米是否是最大面积？用你学过的知识帮助阿富根参谋一下.
解 ：（1）因AB=，则BC=24，
所以    S=（24，  ∴　S=
由题意，得　        解得：  或.
所以，当时，S= （）.
当时，S= （）.
（2）由，解得.
所以，当AB=4米时，BC=8米；AB=2米时，BC=16米.
旧墙长度a对猪舍的长度影响如下：
当时，所以不可能建造面积为32平方米的猪舍；
当时，所以可以造长为8米，宽为4米的猪舍；
当时，可以造长、宽分别是8米、4米或16米、2米的猪舍，它们的总面积都32平方米。
（3）S=，抛物线开口向下，所以当 时，S有最大值，即S最大=36（m2），此时AB=3米，BC=12米。
  显然36＞32，但要考虑到旧墙的范围：
当，建议阿富根建长为12米，宽为3米的猪舍，此时面积最大；
当时，建议阿富根取BC=，可获得猪舍面积最大。
例4:如图3-6在半径为6，圆心角为90度的扇形OAB的AB弧上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.. 
（1）当点P在AB弧上运动时，线段GO、GP、GH中，
有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并
求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出
自变量的取值范围；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长
分析 ：（1）点P在AB弧上运动，Rt△POH的形状大小发生变化；但在这个变化过程中，变化的是OH和PH的的长度；不变的是∠PHO=900，PO=6.HG等于的OP的长，故知HG不变.
解：（1）延长HG交OP于点E，PG交OH于点D，由重心定理得：GH=HE=OP=2
（2）在Rt△POH中，
在Rt△DPH中，
∴ .
（3）△PGH是等腰三角形有三种可能：
1）.解得.符合题意.
2）.解得.不符合题意.
3），即
综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段PH的长度等于或2.
习题精选
1、 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元； 生产一件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
⑴要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；
⑵生产A、B两种产品获总利润是y(元)，其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明⑴中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
2、某校组织学生到距离学校6千米的光明科技馆去参观，学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：
里        程	收费(元)		3千米以下(含3千米)	8.00		3千米以上，每增加1千米	1.80		⑴写出出租车行驶的里程数x≥3(千米)与费用y(元)之间的函数关系式：       .
⑵王红同学身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由.
3.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，
篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为
2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。建立如图所
示的直角坐标系，求抛物线的解析式；该运动员身高
1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，
问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
参考答案
1、⑴有三种生产方案：第一种是A30，B20，第二种是A31，B19，第三种是A32，B18 .⑵设生产A种产品x件，y=-500x+6000， xx=30时获总利润最大， 最大利润是4500元.
2、y=1.8x+2.6、够
3、答案：y= -0.2x2+3.5；0.2米.
5
B
?
A
C
O
3.05
2.5米
4米
C
B
F
P
A
E
A
C
B
a
D
图3-5
图3-4
图3-3

函数思想.doc