* (应用题中常见的几种数学模型）       应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构，本节课结合实例介绍几种解应用题常用的数学模型。 本节课主要内容简介： 一、函数模型       在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定 规律的，这些规律就是我们学过的函数。 例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出 50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一 个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.  分析：利润=（零售价—进货单价）销售量 48 …. ….  50-x 47 49 50 销售量  50+x 53 51 50 52 零售价 故有：设利润为 y元，零售价上涨x元               =-x2 +40x+500 即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.  y=（50+x-40）（50-x）     （其中  0〈x〈50）） 二、方程模型   许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出 一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组） 就是最有效的工具。 例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算 ,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全 班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多 买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生? 所以该班共有50名同学。 例3、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。    （1）?? 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；    （2）? 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。  三、不等式模型 数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。 分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。 （1）三角形ADE中角A为600        故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。 （2） 解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。  则 (2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值 若DE做为参观线路，须求y的最大值。 令 设 在三角形ADE中，由余弦定理得： 当100≤t1 t2≤200时，104 t1t2 4?104, ∴t1t2-4?104 0，又t1-t2 0,t1t2 0,∴f(t1) f(t2)， 则f(t)在[100，200]上是减函数。 当200≤t1 t2≤400时，4·104 t1t2 42?104, ∴t1t2-4?104 0，又t1-t2 0,∴f(t1) f(t2)， 则f(t)在[200，400]上是增函数。 ∴当t=200，即 当t=100或t=400即x=10或20时， 故若DE是输水管道的位置，则需使 若DE是参观线路，则需使x=10或20 思考：DE的几何意义是什么？ 四、数列模型 如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性，那么所考查的很有可能就是数列模型。 例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业， 1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每 年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的     。 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到 8100万元可以达到小康水平. （1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是 哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？  分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。 该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润                略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。                            y=                 + 当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。 故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。 （2）2005年时，n=9此时y=                                                =8201.25+28.9 即2005年底该乡能达到小康水平。 总利润    乙企业     甲企业 （第n年） …    2000（n=4）     99（n=3）     98（n=2）      97 （n=1） 年份 * 
函数应用题复习.ppt