解直角三角形及应用举例（专题讲座）
解直角三角形
一、知识点
（一）目标点
1、熟记直角三角形中各元素间的关系，并能熟练地运用它们解直角三角形。
2、利用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题及特殊四边形、等腰三角形等有关问题。
1、解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是1）三边之间关系：2）锐角之间关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边角之间的关系：sinA＝cosA＝tgA＝ctgA＝sinB＝cosB＝tgB＝ctgB＝4）面积公式：为边上的高）。
2、直角三角形的解法。直角三角形的解法按除直角外已知二个元素（至少一个边）的不同情况，可大致分为四种类型（设∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是1）已知一条直角边和一个锐角（如A），其解法为：∠B＝90°－∠A，（或）；（2）已知斜边和一个锐角（如A），其解法为：∠B＝90°－∠A，）；（3）已知二直角边（；由tgA＝A，∠B＝90°－∠A；（4）已知斜边和一条直角边（如），其解法为 ，由sinA＝A，∠B＝90°－∠A。
3、解直角三角形时正确选择关系式的要领：（1）若求边，一般用未知边比已知边（即未知边放在分子），去寻找已知角的某个三角函数；（2）若求角，一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某个三角函数；（3）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”和“一错再错”。
重点：直角三角形的解法。
难点：选择简便方法解直角三角形。
二、考点
（一）命题方向分析
1、考查解直角三角形的定义，主要以判断题和填空题形式出现。目的是理解直角三角形的概念，并注意在已知两个元素至少有一个是边。
2、考查解直角三角形，主要出现在计算题中。目的要求画出草图，由直角三角形的五个元素之间的关系进行计算。注意：（1）书写；（2）在计算中尽量用原始数据，以免“累积误差”和“一错再错”；（3）在计算过程中若同时可选用两个公式计算时，为简便，要选用乘法计算的公式而不选用除法计算的公式。
3、一般考查解直角三角形，由于题目本身知识限制（不准查表），因此考题中仍以给特殊角或特殊值为多。所以要求学生掌握一个角为30°的直角三角形和一个角为45°的等腰三角形三边的比值关系，对解有关直角三角形的问题尤为重要，希望教者给予注意。
例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解：在Rt△ABC中，sinA＝A＝45°，∠B＝90°－∠A＝45°，
；
解法二：∵∠A＝∠B，∴
解法三：∵cosA＝。
说明：灵活选择关系式，使运算简便。
例2、（1）在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3A的平分线AD＝6，解这个三角形；（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，若AD是BC边中线，AC＝ADC＝60°，求这个三角形的面积。 
1）如图所示，△ABC为Rt△，∠C＝90°，在Rt△ACD中，cos∠CAD＝CAD＝30°。∵
AD是∠A的平分线，∴∠CAB＝2∠CAD＝60°。∴AB＝2AC＝tg∠CAB＝BC＝AC·tg∠CAB＝3tg60°＝9；
2）在Rt△ACD中，∵ctg∠CDA＝CD＝AC·ctg∠CDA＝tg60°＝3，∵AD是BC边中线，∴BC＝2CD＝6，∴
说明：对于较复杂的问题，题设条件中没有直接给出解直角三角形的二个已知元素（至少有一个是边），而是需要通过其他条件运用学过的有关几何、代数知识，先求出这个直角三角形的二个元素（至少有一个是边），然后再解这个直角三角形。解这类题目要认真分析题意，细心观察图形。 
例3、在Rt△ABC中，∠A－∠B＝3O°，
解：在Rt△ABC中，
，，解此方程组，得：，又。
说明：这个题目没有直接给出一个已知元素（除直角外），所以先要设法求出直角三角形的二个元素。由已知∠A－∠B＝3O°，和隐含条件∠A＋∠B＝9O°，求得∠A、∠B，再由，最后求出。
例4、在Rt△ABC中，C＝9O°，解这个三角形。
，解关于的二元一次方程组：，得
，，查表得锐角A＝26°34'，∴B＝9O°－26°34'＝63°26'。
，查表得锐角A＝26°34'，∴B＝9O°－26°34'＝63°26'。
。
说明：这两种解求法得的值相差不多，但它们谁更接近准确数呢？应该说解法一中的值更为准确，这是因为解法一中的求都是用的题设条件的原始数据；而解二中求，用的是查表求得的∠A，然后再经查表求sinA，产生了累计误差，因此选择关系式时还要注意避免不必要的误差，选择关系式通常遵循二条选择原则：一是应当尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是应当设法选择便于计算和查表的关系式。
解直角三角形应用举例
一、知识点
（一）目标点
1、掌握把实际问题转化为数学问题并用解直角三角形的知识去解决的方法。
2、了解仰角、俯角、坡角、坡度等概念，并理解它们的意义。
有关的概念：
仰角和俯角：如图，它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，其中视线在水平线上的叫仰角；视线在水平线下方的叫俯角。如图α叫做仰角，β叫做俯角。
坡度和坡角 
：
如图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度。通常用i表示，即i ＝tgα，坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡。
2、应用解直角三角形的知识解决实际问题，应注意以下几个环节：（1）分析题意，先根据已知条件画出它的平面或截面示意图；（2）如果图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形；（3）把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系。细心推理计算；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，逐步写出解答并注明单位。
重点：1、用解直角三角形的方法解简单的测量问题。
2、把解等腰三角形的问题转化为解直角三角形的问题。
1、将测量距离的实际问题转化为解直角三角形的问题。
2、选用恰当的方法计算本课题中例题所要求的长度。
（一）命题方向分析
1、考查应用解直角三角形的知识去解决某些简单的实际问题是本章的重点和难点之一，在重视理论联系实际的今天，这类题在中考中常以中档题的面孔出现。目的是：（1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；（2）会将实际问题转化为数学问题；（3）会通过引适当的辅助线使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题。 2、考查实习作业中的测量倾斜角和测量底部可以到达的物体高度的问题。由于知识本身的限制，所以不能考全过程，而常以填空题形式考测量工具和测量步骤及公式，而以填写实习报告的形式考计算。 
（二）热点考题举例
例1、如图，已知△ABC中，∠A＝30°，∠B－∠C＝60°，BC＝2，求AC。
ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝30°，∴∠B＋∠C＝150°，又∠B－∠C＝60°，解方程组
B＝105°，∠C＝45°。
B作BD⊥AC于D，则∠DBC＝45°，∴在Rt△BDC中，BD＝DC＝BC·sin45°＝Rt△ADB中，AD＝BD·ctg30°＝AC＝AD＋DC＝
说明：尽管原△ABC不是直角三角形。但通过作高线，即可把原三角形变成两个直角三角形。由已知条件可将Rt△BDC变成可解Rt△，求出BD和DC，从而另一Rt△BDA也可解，因而问题得以解决。
例2、如图，在等腰三角形ABC中，底边BC为5，tgα＝，求AC。
AD⊥BC于D，在Rt△ADB中，∵tg，∴设AD＝2k，BD＝5k，则AB＝,又∵BC＝
5，∴BD＝,∴5k＝,得k＝
∴AC＝AB＝
说明：作等腰三角形ABC底边上的高AD，则构造出直角三角形。由于只有在Rt△中，才有,所以tg正确。应是在Rt△ADB中，tg,然后再用设k方法，求出腰长AC。
例3、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A处看见了灯塔S在船的北偏东20°，半小时后，航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S B处的距离。（精确到0.1海里）
,
如图，作BE⊥AD于E。∵AB＝32.2×16.1（海里），A在Rt△AEB中，sin20°＝BE＝AB·sin20°＝5.5062（海里）。在Rt△BES中，∠BSA＝65°－20°＝45°，∵sin45°＝BS＝7.8（海里）。
S和B处的距离约为7.8海里。
ABS是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形。本题中的辅助线BE是联系Rt△AEB和Rt△BES的桥梁，为了得到可解Rt△BES，需先求出BE的长。
例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜边AB的坡度为1∶AB的水平宽度为3AD宽为4米，求坡角∠B，坝高AE和坝底BC的宽（精确到0.1米）。
，坡面AB的水平宽度为3BE＝3AE＝3（米）。∴BC＝2BE＋AD＝64≈14.4（米）。
B为30°，坝高AE为3米，坝底宽约为14.4米。