一九九一年
第一试
    一、选择题
    本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是
     （A）3 ；  （B）；   （C）2；   （D）．
　　　　　　　　　　　　　　　                               答（   ）
如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是
10；      （B）12；  
（C） 16；      （D）18．
　　　　　　　　　　　　　答（  ）
方程的解是
（A）；               （B）；
（C）或；     （D）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　              　           答（   ）
已知：（n是自然数）．那么，的值是
（Ａ）；　　　　　　　（Ｂ）；
（Ｃ）；　　　　　（Ｄ）．
答（　　　）
若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；
（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；
（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；
（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（　　　）
若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么
的最大值是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．
答（　　　）
如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．
答（   ）
在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则
（Ａ）  c   2 ；            （Ｂ）0  c ≤；
答（   ）
　（C）c   2； 　　　　　（D）c = 2．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）
　　二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是           ．
２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，             ．
3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x  ０，恒成立，则
　　　　　　　．
４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB，BC，
CD = 6，则AD =         ．
第二试
x + y，　x － y，　x y，　
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF
   　三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．
一九九二年
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足的非负整数的个数是
(A)1;            (B)2;            (C)3;            (D)4.
2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是
(A)         (B)=       (C) ;        (D)不确定.
3.若,则的个位数字是
(A)1;            (B)3;           (C)5;            (D)7.
答(    )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为
(A)7;            (B)6;           (C)5;            (D)4.
答(    )
5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是
(A)       (B)       
(C)       (D)不确定									答(    )
6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是
(A)0;            (B)1;            (C)2;            (D)3.
答(    )
7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.
则AE:EB等于
(A)1:2           (B)1:3
(C)2:5           (D)3:10
答(    )
8.设均为正整数,且
,,则当的值最大时,的最小值是
(A)8;            (B)9;           (C)10;           (D)11.
答(    )
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若,则的最大值是__________.
3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则                .
4.若都是正实数，且，则            .
第二试
    一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.
二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.
求证：.
三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651			B：105263
C：612305			D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.
一九九三年
第一试
    一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式除以的余式是
(A)1;            (B)-1;           (C);        (D);
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对   (B)Ⅰ对,Ⅱ错    (C)Ⅰ错,Ⅱ对.  (D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设是实数,.下列四个结论:
Ⅰ.没有最小值;                
Ⅱ.只有一个使取到最小值;
Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值;
Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.
其中正确的是
(A)Ⅰ           (B)Ⅱ            (C)Ⅲ           (D)Ⅳ
4.实数满足方程组
其中是实常数,且,则的大小顺序是
(A);           (B);
(C);           (D).
5.不等式的整数解的个解
(A)等于4        (B)小于4        (C)大于5       (D)等于5
6.在中,,
则的值是
(A)                          (B)           
(C)                            (D).
答(    )
7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于
(A);               (B)      
(C)         (D).
答(    )
8.可以化简成
(A);    (B)     (C)       (D)
答(    )
二.填空题
当x变化时,分式的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________.
4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.
第二试
一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.
二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.
三.已知方程分别各有两个整数根及,且.
(1)求证:
(2)求
历届全国初中数学联赛试题15套.doc