南充高中2009年面向省内外自主招生考试 数 学 试 题 (考试时间:120分钟 试卷总分:150分) 第Ⅰ卷(选择、填空题) 一、选择题:下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置(每小题5分,共计30分). 1.下列说法中,正确的是( ) A . π的系数是 B.在(-1)0,cot30°,,|-π-1|几个数中,实数有2个 C. 若,则 D . 单项式-xn+1y与单项式2x2n+3y不可能是同类项 2.一次函数与的图象如图,则下列结论 ①;②;③当时,中,正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图,在Rt△ABC中∠ACB=90o,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系( ) A. 点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 第3题图 4.将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,出现的数字分别为,则正好是直角三角形三边长的概率是( ) A. B. C. D. 5.给出三个命题:①点P(b,a)在抛物线y=x2+1上;②点A(1,3)能在抛物线y=ax2+bx+1上;③点B(-2,1)能在抛物线y=ax2-bx+1上.若①为真命题,则( ) A.②③都是真命题 B.②③都是假命题 C.②是真命题,③是假命题 D.②是假命题,③是真命题 6.满足两条直角边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个 二、填空题:请将你的答案填到答题卷的相应位处(每小题5分,共计40分). 7.已知不等式2x-m0只有三个正整数解,则化简+=????????????????? 8.如图,在平而直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与轴交于点C,且tan∠ACO=,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 .的解是,求方程组的解。”提出各自的想法。甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解”;乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试”;丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是 . 10.已知、为实数,且,,设,,则的值等于 . 11、如图,点P在⊙O的直径BA的延长线上,AB=2PA, PC切⊙O于点C,连结BC.若⊙O的半径r=2cm, 则BC与的正弦值的积为 . 第11题图 12.现有一张矩形纸片ABCD(如图),其中AB=4cm, BC=6cm,点E是BC的中点.实施操作:将纸片沿直 线AE折叠,使点B落在梯形AECD内,记为点B′. 则B′、C两点之间的距离为 . 13.如图,是一块半径为1的半圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得图形,记纸板的面积为,试计算求出 ; ;并猜想得到 . 14.正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米,甲、乙两只机器鼠分别从A,C两点同时出发,均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑,甲的速度为9.2厘米/秒,乙的速度为8厘米/秒,那么出发后经过___________秒钟时,甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上.南充高中2009年面向省内外自主招生考试 数 学 试 题 第Ⅱ卷(答题卷) 一、选择题答案: 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题答案: 7.__________________ 8.__________________ 9.__________________ 10.__________________ 11.__________________ 12.__________________ 13.________ _________ _________ 14.__________________ 三、解答下列各题:(共80分) 15.计算(本题满分8分): 16.(本题满分8分) 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如,原问题是“若矩形的两边长分别为3和4,求矩形的周长”,求出周长等于14后,它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14,且一边长为3,求另一边的长”;也可以是“若矩形的周长为14,求矩形面积的最大值”,等等. (1)设A=-,B=,求A与B的积; (2)提出(1)的一个“逆向”问题,并解答这个问题. 17.(本题满分8分) 如图,内接于⊙O,点在半径的延长线上,. (1)试判断直线与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径长为1,求由弧、线段和所围成的阴影部分面积(结果保留和根号). 18.(本题满分8分) 水稻种植是南充的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成下图: 请你根据统计图所提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势. 19、(本题满分12分) 已知关于x的一元二次方程有两个实数根,且满足,。(1)试证明; (2)证明; (3)对于二次函数,若自变量取值为,其对应的函数值为,则当时,试比较与的大小. 20.(本题满分10分) 善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间(单位:分钟)与学习收益量的关系如图1所示,用于回顾反思的时间(单位:分钟)与学习收益的关系如图2所示(其中是抛物线的一部分,为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. (1)求小迪解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式; (2)求小迪回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间的函数关系式; (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总 量最大? 21. (本题满分12分) 在中,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ。设动点运动时间为x秒. (1)用含x的代数式表示AE、DE的长度; (2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设的面积为,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)当为何值时,为直角三角形. 22.(本题满分14分) 如图1,在平面直角坐标系中,已知点,点在正半轴上,且.动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动,设运动时间为秒.在轴上取两点作等边. (1)求直线的解析式; (2)求等边的边长(用的代数式表示),并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值; (3)如果取的中点,以为边在内部作如图2所示的矩形,点在线段上.设等边和矩形重叠部分的面积为,请求出当秒时与的函数关系式,并求出的最大值. 南充高中2009年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 8 页 共 8 页 x y O 3 第2题图 12题图 (第13题图) 姓名__________________初中就读学校________________________________________ 考号 /////////////////////////////////////////////////////////// 线 封 密 C A B D (第17题图) O 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 苗高统计图 高度/cm 植株 1 2 3 4 5 姓名__________________初中就读学校________________________________________ 考号 /////////////////////////////////////////////////////////// 线 封 密 O x 2 1 O x 16 4 10 (第20题图1) (第20题图2) y
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