初一数学竞赛系列讲座(11)
　应用题（三）
知识要点
数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。
例题精讲
例1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元， C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为         元。(2000年全国初中数学联合竞赛试题)
解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套，依题意有
、
∴
消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15
所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15(10=150
评注：本题列出的是不定方程，要求出x、y、z是不可能的，但本题只要整体地求出y+z就行了。
例2某班参加一次智力竞赛，共a、b、c 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)
解：设答对题a、答对题b、答对题c的人数分别为x、y、z，则有
    所以答对一题的人数为：37-1(3-2(15=4
    全班人数为：1+4+15=20
    故全班平均成绩为
   答：这个班平均成绩是42分
评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。
例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)
解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有
    2[3(x+y)+2x]=14(5，即5x+3y=35
    又由题意，需x 0，y 0且14(5 – (5+2)x≤14(3，即x≥4
    从而问题的本质是在约束条件之下，求y的最大值，
    显然y=5，这样，200((4+5)=1800(公里)
    所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里
例4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔便宜30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)
分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a b c d e元, 
每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。
解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是a b c d e元,
    每两种笔合在一起，可以得出10个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
    其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。
    所以
    (1)-(2) 得：b-c=50      (5)
    (5)+(3) 得：b+e=340    (6)
    在上面10个和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，难以断定，现在b+e=340，
    所以 c+d=320          (7)
    (3)+(4)+(7)得  2 (c+d+e)=860     所以 c+d+e=430
    从而可得：c=180，d=140，e=110
    进一步可得：b=230，a=250
    即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是250元、230元、180元、140元、110元
评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。
例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？
分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，由题意，很容易得出二条方程，但二个方程三个未知数，无法求出x、y、z，实质上，此题的目标不是求x、y、z，而是求x+y+z，我们可以设法整体地求出x+y+z。
解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，由题意得：
    设m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z
    则 (3m+4n) x+(7m+10n) y+(m+n)z= x+y+z
    ∴3m+4n=7m+10n= m+n=1，从而求得m=3，n= -2
    ∴x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=3(3.15-2(4.20=1.05
    答：购甲、乙、丙各一件共需1.05元。
评注：本题列出的是不定方程组，无法求出x、y、z，但本题的目标不是求x、y、z，而是求x+y+z，因此本题通过待定系数法求出x+y+z与3x+7y+z和4x+10y+z的关系，从而整体地求出x+y+z。这是整体思想的体现。
例6 某手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4点30分与准确时间对准，则在当天上午手表指示时间为10点50分时，准确时间应该是多少？
分析：设所求的准确时间为x小时，则小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分所慢的小时数，小时为手表从清晨4点30分走到上午10点50分时，实际走的准确的小时数，因为手表每走1小时要慢小时，所以小时慢了小时，则=
解：设所求的准确时间为x小时，由题意得：
        =
     解之得：
答：准确时间应该是11点10分。
例7 某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元。现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先步行460米，然后乘车到B也是24元，求从AB的中点C到B地需支付多少车费。
分析：解决这个问题的关键是要计算出CB的路程，由于车费的计算方式是10.8+1.2n
      n是乘车路程大于5千米部分所含1千米的个数，不足1千米也要算1千米，从A地到B地共支出车费24元，代入可计算出n=11，于是5+1(10 AB≤5+1(11
      同样5+1(10 AB-0.46≤5+1(11，这样可求出AB的范围，从而求出以CB的范围。
解：设从A地到B地的路程为x千米，
∵
    则5+1(10 x≤5+1(11，且 5+1(10 x-0.46≤5+1(11，
    即15 x≤16，且15.46 x≤16.46，∴15.46 x≤16
    于是，即C地到B地的路程在7.73千米到8千米之间，
    ∴从C地到B地应付车费10.8+1.2(3=14.4(元)
答：乘车从AB的中点C到B地需支付14.4元车费。
例8 某种饮料分两次提价，提价方案有三种。方案甲是：第一次提价m%，第二次提价n%；方案乙是：第一次提价n%，第二次提价m%；方案丙是：先后提价两次，每次提价。若m n 0，则提价最多的方案是哪一种？
解：设饮料原价格为1，则按甲提价方案提价后的价格是：(1+m%) (1+n%)
    按乙提价方案提价后的价格是：(1+n%) (1+m%) 
    按丙提价方案提价后的价格是：(1+)2
    显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较(1+m%) (1+n%)与(1+)2的大小
    (1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%(n%=1+(m+n)% + m%(n%
    (1+)2=1+2?+()2=1+(m+n)%+ ()2
    所以只要比较m%(n%与()2的大小即可
    ∵ ()2- m%(n%=-
= 0
    ∴()2  m%(n%，即(1+)2 (1+m%) (1+n%)
    因此，丙种方案提价最多。
评注：本题应用了比差法来比较大小，比差法是比较大小的最常用方法。
巩固练习
选择题
1、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(    )
   (2000年全国初中数学竞赛试题)
   A、甲比乙大5岁          B、甲比乙大10岁    
C、乙比甲大10岁         D、乙比甲大5岁    
2、一次考试共有5道试题，考后成绩统计如下：有81%的同学做对第一题，91%的同学做对第二题，85%的同学做对第三题，79%的同学做对第四题，74%的同学做对第五题。如果做对三道题以上(包括三道)的同学为考试合格，则这次考试的合格率至少为(   
应用题3.doc