????? C4-001 将图中的正方形沿虚线折成一个正四棱柱面．原对角线AE就成为一条绕在柱面上的折线ABCDE．试求：这折线相邻线段间的夹角．【题说】1956年武汉市赛题5．利用余弦定理．【解】设正方形边长为4a，则折成之正四棱柱面底面边长为a，高为4a．

连AC及AC1，则有

在△ABC中，由余弦定理

所以∠ABC=θ=120°，即折线相邻线段间的夹角为120°．
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C4-002 设人造卫星的位置高出地面恰等于地球的直径，问在卫星上所看到地面占地球全面积的百分之几？（设地球为半径R的球面）【题说】1963年武汉市赛高三二试题3．【解】令卫星为P，地球中心为O，如图过P、O的平面截地球得一大圆，连PO交这大圆于C，过P作这大圆的两条切线PA、PB，连AB交PO于D，过D作平面垂直于PO截得的球冠即为卫星上看到的地面．



答：卫星上所看到地面占地球全面积33.3%．
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C4-003 已知一个四面体ABCD，棱AB长为a，棱CD长为b，直线AB和CD的距离为d，交角为δ，四面体被平行于直线AB和CD的一个平面α截成两部分，如果已知直线AB、CD到平面α的距离之比是K，求这两部分的体积之比．【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题3．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】由于α平行于AB和CD，它交四面体于一平行四边形PQSR，PQ∥SR∥CD和QR∥PS∥AB（如图）．





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同样，立体CDPQRS的、平行于面PQRS的中截面面积



行的底面，h是高，M是中截面的面积）易知上述两个立体体积之比为
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C4-004 把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．【题说】1978年全国联赛一试题5．

【解】如图，设上层小球的球心为O1，下层三个小球球心为O2、O3、O4、O1-O2O3O4可以看作一个棱长是2的正四面体．过O1作正四面体的高O1K，那么K应是正△O2O3O4的中心，连


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C4-005 已知边长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，AC′是对角线．M、N分别是BB′、B′C′的中点，P是线段MN的中点．求DP与AC′的距离．【题说】1981年上海市赛二试题5．【解】如图，在平面AB′C′D中过D作AC′的平行线交B′C′延长线于E，则AC′∥面DPE．所以DP与AC′间的距离即为AC′到平面DPE的距离，亦即三棱锥C′-DEP的高，设为d．由于
23784_数学奥林匹克题解C几.doc