C4-011? 现有边长分别为3、4、5的三角形两个，边长分别为4、

三角形为面，可以拼出多少个四面体？【题说】? 1987年全国联赛一试题2（4）．原题为填空题．【解】? 显然前两种三角形为直角三角形，第三种为钝角三角形．

将△BCD绕CD旋转到面ACD上成为△B1CD．这时四边形AB1CD是等腰梯形，设它的高为h，易知

所以

AB1是以CD为轴的圆柱的母线，B在底面圆周上，所以AB＞AB1＞

成四面体．





∠CBD与B-ADC为三面角不合．因此AB应当为3，这样的四面体存在，事实上，先作△BCA使AB=3，BC=5，AC=4，再作面BCA的垂

3、4、5的三角形各两个拼成．如果四面体ABCD的棱CD=5，AC=BD=4，BC=AD=3，那么与上面同样的理由，AB≠5．所以拼成的四面体只有一种．C4-013? 求以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数．【题说】? 1989年全国联赛一试题1（4）．原题为选择题．【解】? 以长方体8个顶点中的任意3个为顶点的三角形共有

以长方体的每个顶点为直角顶点的三角形都是6个，所以在56个三角形中共有6×8=48个直角三角形，从而，锐角三角形的个数为8．[别解]? 对每个顶点，与它有棱相连的三个顶点组成锐角三角形．?
C4-014? 已知正三棱锥S-ABC的高SO=3，底面边长为6，过A点向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP/PO′=8，求经过P点且平行于底面的截面的面积．【题说】? 1989年全国联赛一试题4．【解】? 如图，平面SAO交BC于D，则SO⊥AD，BC⊥平面ADS，所以AO′在平面ADS上．

设AO′∩SO=P′，∠SDA=α，在△SOD中，tanα=SO/OD=


AP=8AO′/（8+1）=4=AP′故P与P′重合，PO=APcosα=2．设所求截面面积为S1，则S1/S△ABC=（SP/SO）2=1/9

?
C4-015? 若干棱长为2、3、5的长方体，依相同的方向拼成棱长为90的正方体．求正方体的一条对角线贯穿小长方体的个数．【题说】? 1990年日本第1轮选拔赛题6．【解】? 因2、3、5的最小公倍数是30，故所求贯穿长方体的个数等于棱长为30的正方体的对角线贯穿长方体个数的3倍．
23785_数学奥林匹克题解C几.doc