C4-031? 设一个三直角的四面体PABC（即∠APB=∠BPC=∠CPA=90°）的六棱长度之和是S，试求（并加以证明）它的极大体积．【题说】? 第五届（1976年）美国数学奥林匹克题4．是一立体几何极值问题．【解】? 设三条互相垂直的棱为AP=a，PB=b，PC=c．由已知得



于是




?
C4-032? 证明：对任意四面体，存在两个平面，使四面体在两个平

【题说】? 第十二届（1978年）全苏数学奥林匹克十年级题6．【证】? 设对棱AB=a、CD=b的公垂线为h，过h作平面Q，则四面体ABCD在Q上的投影为梯形，底a′、b′分别为a、b在Q上

不妨设a≥b，向量
之间的夹角为α（≤90°）．当Q⊥AB时，a′+b′=0+bsinα=bsinα．当Q与
平行（在h上任取一点H，将
平移，使H为它们的始点，然后由平行四边形法则作出
，再过h与E作平面Q）时，
．而


?
C4-033? 在一个边长为1的正三棱锥内有13个点，其中任三点不共线，任四点不共面．试证：在以这些点中的四个点为顶点的三棱锥中，至少有一个的体积

【题说】? 1979年新疆区赛二试题7．【证】? 如图，将底面正△ABC的任一边（例如AB）四等分：AD=DE=EF=FB
于是平面SCD、SCE、SCF将正三棱锥分为四个等体积的小三棱锥，每个小三棱锥的体积为：




?
C4-034? P、A、B、C、D是空间中不同的五点，使得∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，θ是一给定的锐角．试确定∠APC+∠BPD的最大值和最小值．【题说】? 第十三届（1984年）美国数学奥林匹克题3．【解】? 由于三面角中两个面角之和总大于第三面角，有∠APC+∠BPD＜∠APB+∠BPC+∠BPS+∠CPD=4θ作∠APC的平分线PO．则三面角P-ABO与三面角P-CBO对称，因此，二面角A-PO-B=C-PO-B-90°．同理二面角A-PO-D=C-PO-D=90°．故平面PBD⊥平面PAC，且PO也平分∠BPD．

现取PB=1，作BO⊥PO，AO⊥PA．令∠APO=α，∠BPO=β，在四面体P-ABO中，PO=PBcosβPA=cosα·PO=PBcosβ·cosα=cosαcosβ但又因BO⊥PO即有BO⊥平面APC，BO⊥PA．加之AO⊥PA，由三垂线定理知PA⊥BA．因此，PA=PBcosθ=cosθ即得???????????????????????????????????????? cosαcosβ=cosθ于是??????????????????????? cos（α+β）=2cosθ-cos（α-β）
23787_数学奥林匹克题解C几.doc