C4-041? 四面体ABCD的对边长分别相等，AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c．求这个四面体外接球的直径．【题说】? 1997年日本数学奥林匹克预选赛题11．【解】? 如图，作长方体AEBF-GCHD．使得GH=AB=CD=EF=a，FH=AC=BD=EG=b，EH=AD=BC=FG=c．

这个长方体与四面体有共同的外接球，球的直径即为长方体的对角线长．不难求得此对角线长为
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C4-042? 在已知平面的一侧有不共线的三个定点，如果有一个球通过这三点并且与平面相切，求这切点的位置（本题只限用圆规和直尺）．【题说】? 1956年北京、天津市赛二试题8．【解】? 设过三个定点A、B、C的平面为π1，O1是△ABC的外心．若已知平面π∥π1，则过O1作平面π的垂线，垂足Q即为所求．此时有且仅有一解．若已知平面π与π1相交于直线l，设O1在l上的射影为P，过P作⊙O1的切线，切点为T，在平面π上，过P作l的垂线a，并在a上取Q，使PQ=PT，则Q点即为所求．当P在⊙O1外时，本题有两解（Q与Q′在P的两侧并且Q′P=PQ）．当P在⊙O1上时，本题仅一解（Q与P重合），当P在⊙O1内时，无解．?
C4-043? 已知四面体ABCD，设E、F分别是AB及AC边上的一

AEFG的体积等于四面体ABCD体积的一半．【题说】? 1957年上海市赛高三决赛题6．

AG的长不难作出．如图，在从A出发的射线上，B、C、D、E、

取AK中点G，则AG长即为所求．
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C4-044? 已知两个平面P、Q相交于直线g，在平面P上有一点A，在平面Q上有一点C，点A、C都不在g上．求作一个能有内切圆的等腰梯形ABCD（其中AB∥CD），使得B在平面P上而D在平面Q上．【题说】? 第一届（1959年）国际数学奥林匹克题6．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】? 显然AB、CD均必须与g平行．因此过A、C分别作g的平行线AB、CD．

在AB与CD所成平面内，过C作CE⊥AB，垂足为E，则

因此以A为圆心，AE为半径作圆交CD于D，再补全等腰梯形ABCD即可．当AE＞CE时，本题有两解，当AE=CE时，本题一解（这时“梯形”ABCD是正方形），当AE＜CE时，无解．?
C4-045 ?已知立方体ABCD-A1B1C1D1，（a）求XY的中点的轨迹，这里X是线段AC上的任意点，Y是线段B1D上的任意点；（b）求XY上Z点的轨迹，其中Z满足ZY=2XZ．【题说】? 第二届（1960年）国际数学奥林匹克题5．本题由捷克斯洛伐克提供．

【解】? （a）作平面M∥平面ABC，且距离为AA1，则平面M在四面体ACB1D1内的那一部分，也就是正方形EFGH（包括边界与内部）即为所求轨迹，其中E、F、G、H为四个侧面的中心．完备性是显然的．纯粹性：设Z为正方形EFGH的任一点，作平面D1B1Z交AC于X，再过X、Z作直线交D1B1于Y，则Z为XY中点．（b）同上作平面N∥平面ABC，且距离为AA1，则平面N在四面体ACB1D1内的那一部分，即矩形E′F′G′H′即为所求，其中E′、F′、G′、H′分别为AB1、CB1、CD1、AD1的三等分点．?
C4-046? 已知一平面E和不在一直线上的三个点A、B、C，这三个点在平面E的同一侧而它们所构成的平面不平行于E．设A′、B′、C′是E上三个任意点，线段AA′、BB′、CC′的中点是L、M、N，而G是△LMN的重心（这里不包括使得LMN不构成三角形的那些A′、B′、C′）．试求当A′、B′、C′各自独立地遍历平面E时点G的轨迹．【题说】? 第三届（1961年）国际数学奥林匹克题6．本题由罗马尼亚提供．


23789_数学奥林匹克题解C几.doc