C4-021? 如图，AO⊥平面BOC，点O在平面ABC内的射影H是

BC-O的大小．

【题说】? 1993年四川省高中数学联赛题4．【解】? 设AH交BC于E，则BC⊥AE，又BC⊥AO．所以∠AEO是二面角A-BC-O的平面角．设∠AEO=θ，由于OB在平面ABC内的射影BD⊥AC，所以OB⊥AC．从而AC在平面BOC内的射影
?
C4-022? 对V个顶点，E条棱，F个面的凸多面体有欧拉公式V-E+F=2．某一个凸多面体有32个面，每个面是三角形或五边形．V个顶点，在每一个顶点处，有T个三角形面和P个五边形面相交．求100P+10T+V=？【题说】? 第十一届（1993年）美国数学邀请赛题10．【解】? 250．由F-E+V=2，F=32，得E=V+30．因为每个顶点处有T+P个面相交，所以每个顶点处有T+P条棱，2E=V（T+P）．从而V（T+P）=2（V+30）即??????????????????????????????????????????? V（T+P-2）=60??????????????????????????????????? （1）每个三角形面有3个顶点，所以VT将每个三角形面算了3次，故三

或五边形，所以

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （2）由（1）、（2）消去V得3T+5P=16
此方程有唯一的非负整数解T=P=2．从而，由（1）V=30，所以100P+10T+V=250．?
C4-023? 已知空间四面体ABCD中，AB2+CD2=BC2+DA2，求AC和BD所成的角的度数．【题说】? 1994年江苏省高中数学竞赛题4．【解】? 分别在面ABC、ACD中，过B、D作AC的垂线，垂足分别为E与F，则AB2-BC2=AE2-CE2=AC（AE-CE）AD2-CD2=AC（AF-CF）由已知，AC（AE-CE）=AC（AF-CF），即AE-EC=AF-FC，所以E与F重合，从而AC与△BDE所在平面垂直，即AC和BD所成的角为90°．
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C4-024? 如图，正方体ABCD-EFGH的面AFH和面BDE的交角为θ（0°≤θ≤90°），求cosθ．

【题说】? 1994年日本数学奥林匹克预选赛题3．【解】? 如图，平面AFH与BDE的交线为MN，M、N分别是正方形ADHE，ABFE的中心．设AC交BD于K，EK交MN于L，连AL．由△EBD是正三角形，M、N、K分别是三边中点知KL=LE并且EK⊥MN，又△AMN中AM=AN，所以中线AL⊥MN．于是∠ALK为面AFH与面BDE的交角．由AL=LE=KL知，∠ALK=2AEK，故
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C4-025? 求曲面S：x2-4y2+z2-12xy=20与平面L：2x+3y+z=3的交线所围成的部分的面积．【题说】? 1995年日本数学奥林匹克预选赛题10．【解】? 由平面L的方程得z=3-2x-3y，代入曲面S并整理得：




23786_数学奥林匹克题解C几.doc