??? C5-001 ?在一张小方格达长都是1的方格纸上放有一个凸32边形，若它的顶点都在方格的结点上．问它的最小周长是多少？【题说】? 第九届（1975年）全苏数学奥林匹克八年级题3．

【解】? 设凸32边形的顶点分别为A1，A2，…，A32，则有

于是问题可以归结为；求出满足以下条件的32个向量：（a）每个向量的起点和终点位于方格纸的结点上；（b）任意两个向量有不同的方向；（c）所有向量的和等于
；（d）当满足（a）—（c）时，所有向量的长度之和最小．为此，从一点出发引出所有的向量，如图所示．在这32个向量中4


足条件（a）—（d），故所求的最小周长为


?
边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的十二个顶点．

【题说】? 第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题1．本题由荷兰提供．【证】? 如图，以已知正方形的中心O为原点，以正方形边长之半为长度单位建立直角坐标系．则正方形四个顶点的坐标分别为：A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）因为所作的四个等边三角形分别对称于x轴或y轴，所以K、L、M、N四点在X轴和y轴上，它们的坐标分别为

CL、NK、CM的中点分别为

利用距离公式可得





所以????????????????????????????????????????? |OP1|=|OP2|=|OP3|
且???????????????????????????????????????????? |P1P2|=|P2P3|
又由对称性可知，这十二条线段的中点，即图中的点P1、P2、P3、…、P11、P12，与O点的距离都相等，即它们都在以O为圆心，

【别证】? 充分利用对称性，我们只需证明P2P3=P3P4，∠P2P3P4=150°
因△P2QN、△QP4N都是直角三角形．且∠QNP4=∠P3P4N=60°，故P3为QN的中点，P3P4=P3Q=P2P3，再由∠P2NP3=15°得∠P2P3P4=∠P2P3Q+∠QP3P4
=30°+120°=150°
C5-003? A、B为定二次曲线ax2+bxy+cy2+ex+fy+g=0（a≠0）上的两个定点，过A、B任作一圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C、D，求证直线CD有定向．【题说】? 1978年上海市赛二试题8．
23842_数学奥林匹克题解C几.doc