C5－041 若x、y为整数，则称坐标平面上的点（x，y）为格点．求

【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题1．【解】直线方程可变形为

它与格点（x，y）的距离为


?
C5－042 求使方程组

有解且所有的解都是整数解的实数对（a，b）的个数．【题说】第十二届（1994年）美国数学邀请赛题7．【解】在圆x2＋y2＝50上有12个整点：（1，7），（1，－7），（－1，7），（－1，－7），（5，5），（5，－5），（－5，



12个点中的每一个点都可以作一条切线，所以共有66＋12＝78条直线与圆仅相交于整点．这样的直线可以写成ax＋by＝1的形式，当且仅当直线不过原点．这78条直线中有6条通过原点（相应坐标互为相反数的两点决定的直线）．这就是说有78－6＝72个有序实数对（a，b），使得给定的方程组有解且只有整数解．?
C5－043 点（0，0），（a，11）和（b，37）是一个等边三角形的顶点．求a·b的值．【题说】第十二届（1994年）美国数学邀请赛题8．【解】如图，设这等边三角形的顶点为O、A、B，OA＝r，OA与x轴的夹角为θ．不妨设a≥0（否则将△OAB关于y轴作轴对称，ab的值不变），即θ不超过90°．由已知







所以由（1），（3）ab＝rcosθ·rcos（θ＋60°）
?
C5－044 给定曲线族

求该曲线族在直线

上所截得弦长的最大值．【题说】1995年全国联赛二试题1．【解】显然曲线族（1）与直线（2）的一个交点是原点．另一交点横坐标是

从而（2x－8）sinθ－（x＋1）cosθ＝1－3x
由此得

即????????????????????????????????????????? x2＋16x－16≤0

23846_数学奥林匹克题解C几.doc