C5－031 求与抛物线y＝x2相切的抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点的轨迹．【题说】第十七届（1991年）全俄数学奥林匹克九年级题1．【解】抛物线y＝x2与y＝－x2＋bx＋c相切的充要条件是2x2－bx－c＝0
有唯一解，即△＝b2＋8c＝0
所以c＝－b2/8．抛物线y＝－x2＋bx－b2/8
的顶点为x＝－b/－2＝b/2，y＝b2/8．消去b得所求的轨迹：

仍是一条抛物线．?
C5－032 在坐标平面上，设方程y2＝x3＋2691x－8019
所确定的曲线为E，连接该曲线上的两点（3，9）和（4，53）的直线交曲线E于另一点，求该点的横坐标．【题说】1992年日本数学奥林匹克预选赛题3．【解】容易求得所给直线的方程为y＝44x－123，将它代入曲线方程并整理得

由方程根与系数的关系可知，所求的横坐标为1936－（3＋4）＝1929．?
C5－033 已知圆的方程为x2＋y2＝4，试在坐标平面上求两点A（s，t）、B（m，n），使下列两条件满足：（1）圆上任一点到A点的距离与到B点的距离之比为定值k；（2）s＞m，t＞n，且m、n均为正整数．【题说】1993年江苏省高中数学竞赛一试题4．【解】设圆上任意一点为P（x，y）则

取P1（2，0），P2（－2，0），得

从而????????????????????????????????? s＝k2m
再取P3（0，2），P4（0，－2）又得t＝k2n????????????????????????????????????????????? （3）



化简为?????????????????????????? k2（m2＋n2）－4＝0
所以?? m＝n＝1，k2＝2，所求点为（2，2），（1，1）．?
C5－034 设P（x，y）为|5x＋y|＋|5x－y|＝20上一点．求x2－xy＋y2之最大、最小值．【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第一轮题4．【解】方程图像，即x＝2，x＝－2，y＝10，y＝－10四直线围成的矩形，其顶点为A（2，－10），B（2，10），C（－2，10），D（－2，－10）．由对称性仅需在AB、BC边考虑．在AB上，Q＝x2－xy＋y2＝4－2y＋y2＝3＋（1－y）2
所以????????????????????? 3≤Q≤124（＝3＋（1＋10）2）同理，在BC上，84≤Q≤124．所以
23845_数学奥林匹克题解C几.doc