C5－011 已知线段AB＝2a，动点P对AB的视角为直角，动点Q到A、B等距离，而且△QAB与△PAB等积（但不为零），O点为AB的中点，OP与BQ的延长线相交于M．以O为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，令∠BOP＝θ，用θ的参数分别求出动点P、Q、M的轨迹的参数方程，并把这些参数方程化为普通方程，指出这三个轨迹各是什么曲线？【题说】1979年江西省赛二试题6．【解】1．设P的坐标为（x，y），则P点轨迹的参数方程为



其中0＜θ＜π或π＜θ＜2π．消去θ得x2＋y2＝a2（y≠0）．所以动点P的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆，A、B两点除外．2．设Q点坐标为（x，y）．因为QA＝QB，△QAB与△PAB等积，所以Q在y轴上，纵坐标与P同．故参数方程为

普通方程是x＝0（|y|≤1并且y≠0）．即Q的轨迹是圆在y轴上的直径，O点除外．3．设M点坐标为（x，y），OP的方程为y＝xtanθ，OQ的方程为y＝（a－x）·sinθ．由这两个方程解得


?
C5－012 已知圆的方程为

1．求证：对于任何正数m，圆心都在某条双曲线c上；2．在双曲线c上求一点，使这点与直线y＝2x＋1的距离最短．【题说】1979年黑龙江省赛二试题1．【解】1．圆心坐标为

消去参数m．得圆心满足的方程为x2－4y2＝1（x＞0，y＞0）它是双曲线方程x2－4y2＝1在第一象限中的半支．2．设双曲线c的平行于y＝2x＋1的切线方程为y＝2x＋b，代入双曲线方程得?


15x2＋16b2x＋4b＋1＝0
由? △＝64b2－15（4b2＋1）＝0






就是双曲线c上与直线y＝2x＋1距离最短的点．?
C5－013 在平面上有若干个点．对其中的任两个点A和B都可作一向量
，而且在每一点，以它为起点和以它为终点的向量个数相等．证明：所有这样组成的向量之和等于0．【题说】第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克八年级题4．【证】选取任意一点O（未必是已知点）．用向量
－
来表示向量
．在所有向量的和式中，每一个向量
（M是已知点）取正号和负号的个数一样多，所以，所有向量的和为0．?
C5－014 在空间经过点O作1979条直线l1，l2，…，l1979，它们中的任何两条不垂直．在l1上取不同于O的任意一点A1．证明：能在li（i＝2，3，…，1979）上分别选择点Ai，满足A1A3⊥l2，A2A4⊥l3，…，Ai－1Ai＋1⊥li，…，A1977A1979⊥l1978，A1978A1⊥l1979，A1979A2⊥l1．【题说】第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克九年级题7．【证】过A1作l2的垂线交l3于点A3，过A3作l4的垂线l5于A5，…，过A1977作l1978的垂线交l1979于A1979，过A1979作l1的垂线交l2于A2，过A2作l3的垂线交l4于A4，…，过A1976作l1977的垂线交l1978于A1978．由于l1，l2，…，l1979两两不垂直，故上述交点总是存在的．题得证．?
C5－015 试证：若一个圆的圆心不是有理点，则其圆周上至多只有两个有理点．【题说】1980年芜湖市赛题2．
23843_数学奥林匹克题解C几.doc