C5－021 一个椭圆内切于一个长为m，宽为n的矩形．求这个椭圆的内接矩形的周长的最大值．【题说】1983年上海市赛一试题1（4）．【解】设椭圆方程为

而ABCD为它的外切矩形．



又设P1P2P3P4为椭圆的内接矩形，则P1P2、P1P4分别平行x轴、y轴，设P1的坐标为（acosθ，bsinθ），θ为锐角，则：

P1P2P3P4的周长＝4（acosθ＋bsinθ）


?
C5－022 设平面上有一圆，它的每一点都以角速度ω绕原点O顺时针旋转，同时该圆上一点P以角速度2ω绕圆心O′逆时针旋转，若时间t＝0时，圆心O′的坐标为（l＋r，0），动点P的坐标为（l，0）．如图，求点P的轨迹方程．（其中l＞0，r＞0）

【题说】1984年上海市赛二试题3．【解】如图，设在时刻t，P点的坐标为P（x，y），则

即

它表示一个椭圆．C5－024 如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，DC⊥AB，交圆周于C，若点D坐标为（x，0），则当x为何值时，线段AD、BD、CD可构成锐角三角形？

【题说】1984年全国联赛一试题2（1）．原题为填空题．【解】先设D点在OB上，OD＝x，AD＝1＋x，BD＝1－x，

＋CD2＞AD2．即（1－x）2＋（1－x2）＞（1＋x）2，解得0


可构成锐角三角形．?
C5－025 三个圆有相同的半径，都是3，圆心分别为（14，92）、（17，76）和（19，84）．一条直线通过点（17，76），且位于它同一侧的三个圆各部分的面积之和，等于另一侧三个圆各部分的面积之和，那么这条直线的斜率的绝对值是多少？【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题6．这条直线已经平分一个圆，必须与另两个圆的圆心等距．

【解】设直线方程为ax＋by＋c＝0
则?????????????????????????????????? 17a＋76b＋c＝0????????????????????????????????? （1）14a＋92y＋c＝－（19a＋84y＋c）?????????????????????? （2）（2）即????????????????????????? 33a＋176b＋2c＝0???????????????????????????????? （3）（1）、（3）消去c得a＋24b＝0


C5－027 已知集合
23844_数学奥林匹克题解C几.doc