2005全国中考最新题型选粹―――――旋转题 旋转变换 定义 设α是一个定角,O是一个定点,R是平面上的一个变换,它把点O仍变到O(不动点),而把平面图形F上任一点X变到X’,使得OX‘=OX,且∠XOX’=α,则R叫做绕中心O,旋转角为α的旋转变换。记为XX‘,图形FF’ 。 其中α 0时,表示XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向;α 0时,为逆时针方向。 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。 1.(2005江苏苏州)右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则 每次旋转的度数可以是( C ) A.900 B.600 C.450 D.300 2.(2005山东威海) 如图所示,在图甲中,Rt△OAB绕其直角顶点O每次旋转90?,旋转三次得到右边的图形.在图乙中,四边形OABC绕O点每次旋转120?,旋转二次得到右边的图形. 下列图形中,不能通过上述方式得到的是 ( D ) 3.(2005湖北荆州) 如图,王虎使一长为4,宽为3的长方形木板,在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)木板上点A位置变化为,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°角,则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为( C ) A.10 B. C. D. 4.(2005无锡) 已知,点P是正方形ABCD内的一点,连PA、PB、PC. (1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1). ①设AB的长为a,PB的长为b(b a),求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积; ②若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长. (2)如图2,若PA2+PC2=2PB2,请说明点P必在对角线AC上. 解:(1)①S阴影= ②连结PP′,证△PBP′为等腰直角三角形,从而PC=6; (2)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,由勾股逆定理证出∠P′CP=90°,再证∠BPC+∠APB=180°,即点P在对角线AC上. 4.(2005福建漳州) 如图:已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,边AB=6cm. (1) 求边AC和BC的值; (2) 求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积. (结果用含π的代数式表示) 解:(1)AC= cm,BC=cm (2)所求几何体的侧面积S=() 5.(2005江西) 如下图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为3个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2)上:先让原点与圆周上0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。 (1)圆周上数字a 与数轴上的数5对应,则a=_________; (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是_________(用含n的代数式表示)。 解:(1)a=2,(2)3n+1 .5.(2005河北课改区) 实验与推理如图14―1,14―2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。 ⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时: ①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ; ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ; ③请证明你的上述两猜想。 ⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。 解:⑴①DE=EF;②NE=BF。 ③证明:∵四边形ABCD是正方形,N,E分别为AD,AB的中点, ∴DN=EB ∵BF平分∠CBM,AN=AE,∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴ DE=EF,NE=BF ⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE),连结NE,点N就使得NE=BF成立(图略)此时,DE=EF。 7.(2005泰州) 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合). (1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE,连结AD、BE,CE的延长线交AB于F(图2); 探究:在图2中,线段BE与AD之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.(4分) (2)操作:将图2中的△CDE,在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△CDE设为△PQR(图3); 探究:设△PQR移动的时间为x秒,△PQR与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量x的取值范围.(5分) (3)操作:图1中△C′D′E′固定,将△ABC移动,使顶点C落在C′E′的中点,边BC交D′E′于点M,边AC交D′C′于点N,设∠AC C′=α(30°<α<90°=(图4); 探究:在图4中,线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求出C′N·E′M的值,如果有变化,请你说明理由.(4分) 解:(1)BE=AD 证明:∵△ABC与△DCE是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD(也可用旋转方法证明BE=AD) (2)如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60° ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x ∴ RT=3-x ∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90° ∴y=×32 -(3-x)2=-(3-x)2+(0≤x≤3) (3)C′N·E′M的值不变 证明:∵∠ACC′=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120° ∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×= 8.(2005湖北武汉课改区) 将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。 (1)将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2,点与AB的交点,求证:; (2)将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△(如图3),点与AB的交点。线段之间存在一个确定的等量关系,请你写出这个关系式并说明理由; (3)将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到(如图4),连结, 求证:⊥AB. 解:(1)证明:过点作CA的垂线,垂足为D 易知:△CD为等腰直角三角形,△DA是直角三角形,且∠A=30°, 所以 故 (2)解: 过点作C的垂线,垂足为E 易知:△E为等腰直角三角形(其中∠2=∠A+∠CA=45°) △CE是直角三角形,且∠1=30°,所以 故 (3)证明:将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到,易证: △≌△,于是∠=∠=45°,故⊥AB. 9.(2005无锡)已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置. (1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索:若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时,顶点P第一次回到原来的起始位置. (2)若k=2,则n= 时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则 n= 时,顶点P第一次回到原来的起始位置. (3)请你猜测:使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n). 解:(1)12次 (2)24次;12次 当k是3的倍数时,n=4k;当k不是3的倍数时,n=12k. 10.(2004山东青岛)操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=900,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究: 三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明。 三角板绕点P旋转,是否能居为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。 (3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图④加以证明。 解:(1)连结PC,∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点, ∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=∠ACB=450
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