第31课时    正多边形和圆
温故而知新
外接圆半径为R的正六边形周长为       
下列图形中面积最大的是（     ）
A．边长为5的正方形的内切圆
B．半径为的圆
C．边长分别为6、8、10的直角三角形的外接圆
D．边长为7的正三角形的外接圆
3、已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点。画出⊙O的内接和外切正五边形
二、考点解读
（1）、考点
1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形
2、定理1：把圆分成n（n≥3）等分
   (1)依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
   (2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
3、定理2：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆。这两个圆是同心圆
   ①正多边形中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心
②正多边形半径：正多边形外接圆半径
③正多边形中心角：正多边形每一边相对的外接圆的圆心角。正n边形的每个中心角都等于
4、正多边形都是轴对称图形。5、正n边形的有关计算
① 正n边形的每个内角都等于
② 定理3：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
③  an=2Rnsin        ④  rn=Rncos        ⑤  Rn2=rn2+（ ）2   
⑥   Pn=an·n            ⑦     Sn= anrn·n= Pn·rn
5、边数相同的正多边形相似。周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比。面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比
（2）、难点
1、内接正多边形和外切正多边形的证明：关键是要证明各分点是圆的n等份点即可
2、正多边形的计算：实质上就是解直角三角形，把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。
3、正多边形的对称性：一个正n边形共有n条对称轴。每条对称轴都通过正n边形的中心。n为偶数边时，它还是中心对称图形。它的中心就是对称中心
三、例题讲解：
1、已知正六边形ABCDEF的半径为6，求这个正六边形的边长a6,周长P6和面积S6
解：作半径OA、OB,作OG⊥AB,垂足为G,得Rt△OGB
∵∠GOB==300    ∴a6=2Rsin300=6
∴P6=6 a6=6×6=36
∴r6=Rcos300=( r6为该正六边形的边心距)
S6= r6 a6×6=××36×6=324
如果用Pn表示正n边形的周长，则正n边形的面积Sn=Pn rn
变式题：已知正三角形的半径为6，求该正六边形的边长a3,周长P3和面积S3
求证各角相等的圆外切五边形是正五边形
已知：在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于点A’、B’、C’、D’、E’
求证：五边形ABCDE是正五边形
证明：作⊙O的半径O A’、O B’、O C’,则O A’⊥AB、O B’⊥BC、O C’⊥∠1=∠2
同理：
即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的五等分点
∴五边形ABCDE是正五边形
变式题：求证各角相等的圆外切n边形是正n边形
3、已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=360，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形
解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=360，
∴∠ABC=720，∠ACB=720，
又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=360
∴五边形AEBCD是正五边形
变式题：求证：顺次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形
四、中考视窗
1、（2005 山东）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O图中阴影部分的面积为12，则⊙O的半径为                                                      
解：连接OB、OD，作OM⊥BD，垂足为M                     
∵  △BFD是正三角形 ，设BD=2a                       ，
则OM=acot600= a                                            
S=BD·OM= ·2a·a ·3= a2=12                  
a=2        ∴  R= =4   
2、（2005  江苏）正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD弧上，则
　∠BEC=         
解：∵四边形ABCD是圆的内接正方形，∴
∴∠BOC=900       ∴∠BEC=450
五、牛刀小试
1、已知正方形的内切圆的半径r=1，那么这个正方形的外接圆的面积S=   （结果用表示）
2、一个正多边形边长是半径的倍，这个正多边形边数是          
3、已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积的比        
4、正三角形的边心距、半径和高的比      
5、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（      ）
A、1：：            B、 ：：1      C、3：2：1       D、1：2：3
6、周长相等的正方形与正六边形的面积为S1 、S2，则S1 和 S2 的关系为（   ）
A、S1 ＜  S2       B、S1 =  S2         C、 S1 ＞  S2      D、无法确定
7、如图  正五边形的对角线AC和BE相交于点M。
求证：（1）ME=AB
     （2）ME2=BE·BM                                  
8、在半径为4的⊙O 中，内接四边形ABCD的边AB、BC、AD的长恰好分别等于⊙O
内接正三角形、正方形、正六边形的边长，求四边形ABCD的面积
         7题                                        8题
六、总结、反思、感悟               
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