一. 教学内容: 动态几何题专题 二. 重点难点: 1. 重点:培养学生的分析推理能力、综合解决问题能力等。 2. 难点:在运动变化中寻求规律,解决问题。 三. 具体内容: 包括动点、动线、动形三种类型。 【典型例题】 [例1] 如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒。 (1)求直线AB的解析式; (2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似? (3)当t为何值时,△APQ的面积为个平方单位? 解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意,得 解得k=-,b=6 所以,直线AB的解析式为y=-x+6 (2)由 AO=6, BO=8 得 AB=10,所以AP=t ,AQ=10-2t 1°当∠APQ=∠AOB时,△APQ∽△AOB 所以 = 解得 t=(秒) 2°当∠AQP=∠AOB时,△AQP∽△AOB. 所以 = 解得 t=(秒) (3)过点Q作QE垂直AO于点E 在Rt△AOB中,Sin∠BAO== 在Rt△AEQ中,QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8-t 所以,S△APQ=AP·QE=t·(8-t)=-+4t= 解得t=2(秒)或t=3(秒) [例2] 如图,在矩形ABCD中,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,设P、Q两点移动t秒(0 t 5)后,四边形ABQP的面积为S米2。 (1)求面积S与时间t的关系式; (2)在P、Q两点移动的过程中,四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等?若能,求出此时点P的位置;若不能,请说明理由。 解:(1)过点P作PE⊥BC于E ∴ ∴ (2)假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等,则有: ∴ 方程无实根 ∴ [例3] 如图1,已知△ABC的高AE=5,BC=,∠ABC=45°,F是AE上的点,G是点E关于F的对称点,过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I,连接IF并延长交BC于J,连接HF并延长交BC于K。 (1)请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明; (2)当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时,求线段AF长的取值范围。(图2供思考用) 解:(1)∵点G与点E关于点F对称,∴GF=FE ∵HI∥BC,∴∠GIF=∠EJF,又∵∠GFI=∠EFJ,∴△GFI≌△EFJ,∴GI=JE 同理可得HG=EK ,∴HI=JK, ∴四边形HIKJ是平行四边形 (2)当F是AE的中点时,A、G重合,所以AF=2.5 如图1,∵AE过平行四边形HIJK的中心F, ∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC. ∵CE>BE,∴GI> HG, ∴CK>BJ. ∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动, 图1 如图2,当点F的位置使得B、J重合时,这时点K仍为CE上的某一点(不与C、E重合),而且点H、I也分别在AB、AC上 设EF=x,∵∠AHG=∠ABC=45°,AE=5, ∴BE=5=GI,AG=HG=5-2x ,CE=-5 ∵△AGI∽△AEC,∴AG∶AE=GI∶CE ∴(5-2x)∶5=5∶(-5) ∴x=1,∴AF=5-x=4 ∴<AF≤4. 图2 [例4] 如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,顶点D,C分别在AM,BN上运动(点D不与A重合,点C不与B重合),E是AB上的动点(点E不与A,B重合),在运动过程中始终保持DE⊥CE,且AD+DE=AB=a。 (1)当点E为AB边的中点时(如图2),求证:①AD+BC=CD;②DE,CE分别平分∠ADC,∠BCD; (2)设AE=m,请探究:△BEC的周长是否与m值有关,若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长;若无关请说明理由。 解:(1)过点E作梯形两底的平行线交腰CD于F,则F是CD的中点,则EF既是梯形ABCD的中位线,又是Rt△DEC斜边上的中线。 根据各自的性质:AD+BC=2EF,CD=2EF 所以 AD+BC=CD 由△EFD是等腰三角形(FD=FE=) 得∠FDE=∠FED 由EF∥AD可得 ∠ADE=∠FED ∴∠FDE=∠ADE,即DE平分∠ADC 同理可证:CE平分∠BCD (2)设AD=x,由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x,又AE=m 在Rt△AED中,由勾股定理得: 化简整理得: ① 在△EBC中,由AE=m,AB=a,得BE=a-m 因为△ADE∽△BEC,所以, 即:, 解得: 所以△BEC的周长=BE+BC+EC= === ② 把①式代入②,得△BEC的周长=BE+BC+EC=,所以△BEC的周长与m无关。 [例5] 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。 (1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式; (2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形? (3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时,求∠BQP的正切值; (4)是否存在时刻t,使得PQ⊥BD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)如图3,过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形。 ∴PM=DC=12 ∵QB=16-t,∴S=×12×(16-t)=96-t (2)由图可知:CM=PD=2t,CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况: ① 若PQ=BQ。在Rt△PMQ中,,由PQ2=BQ2 得 解得t= ② 若BP=BQ。在Rt△PMB中,。由BP2=BQ2 得: 即。 由于Δ=-704<0 ∴无解, ∴PB≠BQ ③ 若PB=PQ。由PB2=PQ2,得 整理,得。解得(不合题意,舍去) 综合上面的讨论可知:当t=秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。 (3)如图4,由△OAP∽△OBQ,得 ∵AP=2t-21,BQ=16-t,∴2(2t-21)=16-t ∴t= 过点Q作QE⊥AD,垂足为E ∵PD=2t,ED=QC=t,∴PE=t 在RT△PEQ中,tan∠QPE= (4)设存在时刻t,使得PQ⊥BD。如图5,过点Q作QE⊥ADS,垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE,得,即 解得t=9 所以,当t=9秒时,PQ⊥BD [例6] 如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。 (1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 (2)试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标。 (3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围。 (4)设从出发起,运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。 解:(1)∵O、C两点的坐标分别为O,C 设OC的解析式为,将两点坐标代入得: ,,∴ ∵A,O是轴上两点,故可设抛物线的解析式为 再将C代入得: ∴ (2)D (3)当Q在OC上运动时,可设Q,依题意有: ∴,∴Q, 当Q在CB上时,Q点所走过的路程为,∵OC=10,∴CQ= ∴Q点的横坐标为,∴Q, (4)∵梯形OABC的周长为44,当Q点OC上时,P运动的路程为,则Q运动的路程为 △OPQ中,OP边上的高为: 梯形OABC的面积=,依题意有: 整理得: ∵△=,∴这样的不存在 当Q在BC上时,Q走过的路程为,∴CQ的长为: ∴梯形OCQP的面积==36≠84× ∴这样的值不存在 综上所述,不存在这样的值,使得P,Q两点同时平分梯形的周长和面积 【模拟试题】 1. 在三角形ABC中,∠B=60°,BA=24cm,BC=16cm。现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动,如果点P的速度是/秒,点Q的速度是/秒,它们同时出发,求: (1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少? 2. 如图所示,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=5,BC=3, P从起点D出发,沿DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x,点P所以过的线段与绝无仅有AD、AP所围成图
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