“分类讨论”练习 1.已知AB是圆的直径,AC是弦,AB=2,AC=,弦AD=1,则∠CAD= . 2. 若(x2-x-1)=1___________. 3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,则腰长为,底边长为_______. 4.若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a b),则此圆的半径为 B. C. 或 a+b或a-b ) A. 1 B. 4 C. 6 D. 1或4或6 6. 若 A.5或-1 B.-5或1 C.5或1 D.-5或-1 7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2). (1)若a=1,抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B、C,且△ABC为等边三角形,求b的值. (2)若abc=4,且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值. 8.长宽都为整数的矩形,可以分成边长都为整数的小正方形。 例如一个边长24的矩形: 可以分成三种情况: (1) (2) (3) 一个长宽为36的矩形,可以怎样分成小正方形,请画出你的不同分法。 9.已知与是反比例函数图象上的两个点. (1)求的值; (2)若点,则在反比例函数图象上是否存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 10.如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点在坐标轴上,,.动点从点出发,以的速度沿轴匀速向点运动,到达点即停止.设点运动的时间为. (1)过点作对角线的垂线,垂足为点.求的长与时间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)在点运动过程中,当点关于直线的对称点恰好落在对角线上时,求此时直线的函数解析式; (3)探索:以三点为顶点的的面积能否达到矩形面积的?请说明理由. 答案: 1. 15°或105° 2. 2、-1、0、-2 3. 腰长6底边9或腰长8底边5 4.C 5.D 6.C 7. 解:⑴由题意,a+b+c=2, ∵a=1,∴b+c=1 抛物线顶点为A(-,c-) 设B(x1,0),C(x2,0),∵x1+x2=-b,x1x2=c,△=b2-4c>0 ∴|BC|=| x1-x2|=== ∵△ABC为等边三角形,∴ -c= 即b2-4c=2·,∵b2-4c>0,∴=2 ∵c=1-b, ∴b2+4b-16=0, b=-2±2 所求b值为-2±2 ⑵∵a≥b≥c,若a<0,则b<0,c<0,a+b+c<0,与a+b+c=2矛盾. ∴a>0. ∵b+c=2-a,bc= ∴b、c是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的两实根. ∴△=(2-a)≥0, ∴a3-4a2+4a-16≥0, 即(a2+4),故2a-2≥6 当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使不等式等号成立. 故|a|+|b|+|c|的最小值为6. 8.分7种情况画图 9.解:(1)由,得,因此(2)如图1,作轴,为垂足,则,,,因此. 由于点与点的横坐标相同,因此轴,从而. 当为底时,由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点, 故不符题意.当为底时,过点作的平行线,交双曲线于点, 过点分别作轴,轴的平行线,交于点. 由于,设,则,, 由点,得点. 因此, 解之得(舍去),因此点. 此时,与的长度不等,故四边形是梯形.如图2,当为底时,过点作的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为.由于,因此,从而.作轴,为垂足, 则,设,则, 由点,得点, 因此. 解之得(舍去),因此点. 此时,与的长度不相等,故四边形是梯形.如图3,当过点作的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为时, 同理可得,点,四边形是梯形.综上所述,函数图象上存在点,使得以四点为顶点的四边形为梯形,点的坐标为:或或. 10.解:(1)在矩形中,,, ,. ,即, 当点运动到点时即停止运动,此时的最大值为. 所以,的取值范围是. (2)当点关于直线的对称点恰好在对角线上时,三点应在一条直线上(如答图2). ,. , . .点的坐标为 设直线的函数解析式为.将点和点代入解析式,得解这个方程组,得 此时直线的函数解析式是. (3)由(2)知,当时,三点在一条直线上,此时点 不构成三角形. 故分两种情况: (i)当时,点位于的内部(如答图3). 过点作,垂足为点,由 可得. . 若,则应有,即. 此时,,所以该方程无实数根. 所以,当时,以为顶点的的面积不能达到矩形面积的. (ii)当时,点位于的外部.(如答图4) 此时. 若,则应有,即. 解这个方程,得,(舍去). 由于,. 而此时,所以也不符合题意,故舍去. 所以,当时,以为顶点的的面积也不能达到矩形面积的. 综上所述,以为顶点的的面积不能达到矩形面积的. ~ 6 ~ 分成两个正方形,面积分别为4,4 分成8个正方形,面积每个都是1 分成5个正方形,1个面积为4,4个面积是1 y x B C P O A T 图2 图1 图3 y x B C P O A T (答图1) y x B C P O A T (答图2) 2 1 y x B C P O A T (答图3) E
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