分类讨论思想(1) 第1讲 一、概述与要点 分类讨论思想是每年中考必考的数学思想方法,分布于填空题,简答题及压轴题。所以特别在最后复习段段中,要强化基础知识的分类整理,熟悉初中数学的知识网络,对数学的基本分类讨论思想方法能够运用自如. 本讲主要针对数或式中某些量的不确定性,培养学生在学习中养成认真审题,周密思考的习惯. 二、例题选讲 例1、已知数3、6,请写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是____________(只需填写一个数)。 分析 如果设第三个数为x,那么可能有三种情况:3是6和x的比例中项;6是3和x的比例中项;x是3和6的比例中项.在答题时,不要求求全,只选一种答案填入即可. 答案: 例2:(1)当a__________;b__________时,方程有唯一解 (2)当a_________;b__________ 时,方程无解 (3)当a_________;b__________时,方程有无数个解 解: 此题解含字母系数的方程: 化为: 此方程未注明是一元一次方程,故应讨论: (1)当,方程有唯一解. (2)当,方程无解. (3)当,方程有无数解. 例3:已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC= 求AB的长 分析 本题没有给出AC,BC的大小关系,因此要按AC>CB、AC<CB进行讨论. 解:设AB=x (1)如果AC>CB,则, (2)如果AC<CB,则. 例4、解关于x的方程 分析 此方程中由于系数中出现了参数m,因此方程不一定是一元二次方程,在解这类方程时,必须对m的取值进行分类讨论. 解:当m=-1时,原方程为一元一次方程:8x-1=0 , x=. 当m≠-1时,原方程为一元二次方程, ∵ 当△>0,即<且时,原方程有两个不相等的实数根: . 当△=0,即=且时,原方程有两个相等的实数根: (3)当△<0,即>且时,原方程无实数根. 例5、已知:反比例函数y=与一次函数y=mx+n图像的一个交点为A(-3,4),且一次函数的图像与x轴的交点到原点的距离为5,分别确定反比例的函数与一次函数的解析式? 分析 x轴上且到原点的距离为5的点应有(5,0)和(-5,0)两点,因此本题应分类讨论. 解:∵反比例函数y=的图象过点A(-3,4),∴k=-12. ∴反比例的函数的解析式为 y=-. ∵一次函数y=mx+n的图像与x轴的交点到原点的距离为5,所以它与x轴的交点为(5,0)或(-5,0). (1)当y=mx+n的图象过A(-3,4)和(5,0)时, 所以 . (2)当y=mx+n的图象过A(-3,4)和(-5,0)时, 所以 . 故所求反比例函数的解析式为y=-,一次函数的解析式为或. 三、习题精选 1、解关于x的方程= 0 2、已知关于x的方程= 0无实数根,试说明关于x的方程=0的根的情况. 3、已知一次函数 ,求k为何值时,图像与两坐标轴围成的三角形的面积是? 4、已知等边三角形ABC的两个顶点为A(-4,0),B(2,0),求点C的坐标. 5、某人乘船由A地顺流而下到B地,然后逆流而上到C地,共乘船7小时,已知船在静水中的速度为7.5千米/小时,水速为2.5千米/小时,A,C两地航程是10千米,求A、B两地间的航程. 答案 1、解(1)如果k=0,原方程即为x-2=0,解为x=2; 如果k≠0,△=4k+1 当k≥-时,解为; 当k<-时,原方程无解. 2、当a=5时,原方程只有一个实数根x=; 当a>4且a≠ 5时,方程有两个不相等的实数根. 3、 4、 5、30千米或16千米. 3
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