分类讨论思想（3）
第3讲
一、概述与要点
历年中考试题的综合性问题中，屡次出现数学分类讨论思想，并且能力要求较高。以尽力培养学生的思维品质，学习能力.
在解这类综合能力题时，从基础知识和基本数学思想（分类讨论）出发，抓住本质，具备缜密的思维得出完整的结论。如等腰三角形设有指明腰，直角三角形没有指明直角等问题，都应一一分类考虑.
二、例题选讲
例1、已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ACB是等腰三角形，求抛物线的解析式
分析 此题题干很短，条件简单，但细看有许多不确定因素，如抛物线开口可以向上，也可以向下；与x轴两个交点A，B可在原点同侧，也可在原点异侧；等腰△ABC可以是CB=CA，也可以是AB=AC，还可以是AB=BC，因此必须分类讨论，观察解析式，发现它的右边可以分解因式，可求出A，B两点的坐标分别为（3，0）和，C点坐标为（0，4），不论A，B两点的位置如何，线段AB的长度都可以表示为 ，AC和BC则可用勾股定理求得.
解：∵.
   ∴ C点的坐标为（0，4）.
当y=0时，的解为，
∴ 抛物线与x轴的交点是A（3，0）、B（）.
若AC ＝BC，如图5-10，则A、B关于y轴对称.
∴ =－3，，
∴ 抛物线的解析式为
若AC ＝AB，如图5-11，
∵ AO=3，OC=4，∴AC=5
∴ 
当时，解析式为
当时，解析式为
若AB ＝BC，如图5-12
 则 得
∴ 抛物线的解析式为
所以，所求抛物线的解析式为或或或.
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（2，4），顶点的横坐标为，它的图像与x轴交于两点B（x1,0）、C（x2,0），与y轴交于点D，且.试问：在y轴的正半轴上是否存在点p，使得⊿POB与⊿DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P、B两点直线的解析式；若不存在，说明理由。
分析：本题主要考察学生的分类讨论的能力. 因为题中B（x1,0）,C（x2,0）的位置没有明确，所以B点坐标要做两种假设：而⊿POB与⊿DOC相似的对应边也可改变，因此，本题显然是简单之中蕴育着分类的智慧.
解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点B（x1,0）,C（x2,0），
∴ .
又因为  即 
∴           ①
又由y的图象过点A（2，4），顶点的横坐标为，
则有 4a+2b+c=4                 ②
                      ③
由① ② ③ 解得 a=－1，b=1，c=6.
∴ y=－x2+x+6
∴图象与x轴交点为（－2，0），（3，0），与y轴交点为（0，6）.
设y轴上存在点P，使得⊿POB∽⊿DOC，则
当B（－2，0）、C（3，0）、D（0，6）时有（如图5-13）
∴OP=4，即点P的坐标为（0，4）.
可设过P（0，4）、B（－2，0）两点直线的解析式为有0=-2k+4，得k=2.所以  .
或
∴OP=1，这时点P的坐标为（0，1）.
可设过P（0，1）、B（－2，0）两点直线的解析式为有0=-2k+1，得k=.所以  .
当B（3，0）、C（-2，0）、D（0，6）时有（如图5-14）
或.
例3、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD BC，且AD=5；AB=DC=2，
（1）如图5-15，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.
① 求证：⊿ABP∽⊿DPC
② 求AP的长.
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPC=∠A.，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
② 当CE=1时，写出AP的长（不必写出作题过程）（01年上海考题）
分析：本题的关键在于点P在AD线段上移动时，Q点在DC线段及其延长线上的位置.
解：（1）① 证明：∵
              ∴
             ∵ ∥
             ∴
             ∴⊿ABP∽⊿DPC.
       ② 解：设AP=x，则DP=5－x
       由 ⊿ABP∽⊿DPC 得    即 .
    所以  所以AP的长为1或4.
（2）① 解：类似（1）①得⊿ABP∽⊿DPQ，得  即 .
∴ 
② AP=2或AP=3-.
三、习题精选 
1、如图5-17，已知一动点P从B开始向C运动，问当点P离点B多远时，⊿ABP与⊿DCP相似？
2、如图5-18   △ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从B点沿BC向C点运动，速度为1cm/秒，点Q从C点沿着运动，速度为2cm/秒，P，Q两点同时出发，当Q点到达B点时，运动停止，求运动几秒时，P点与Q点的连线PQ与△ABC的边垂直. 
3、已知抛物线y=ax2（a 0）上有两点A、B，它们在横坐标分别为-1，2，如果⊿AOB（O是坐标原点）是直角三角形，求a的值.
4、如图5-19，⊿ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D在边AB上，且AD=8，若E是边AC上一点，且⊿ADE是等腰三角形，求sin∠ADE的值. 
5、如图5-20，，AB=AC=2，点D在BC上运动，（不能到达点B、C），过D作 ，DE交AC于E
（1）求证：∽；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当是等腰三角形时，求AE的长.
答案：
1、
2、
3、.
4、.
5、（1）略；（2）；（3）1或4－.

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