3、 已知抛物线 y=2x2+2x-4,(1)则它的对称轴为__________,顶点为_______,与x轴的两交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为________。(2)如何画出它的图象? 练习 4、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1),M(2,-3)两点。 ⑴若抛物线的对称轴是直线x= -1,求此抛物线的解析式。 ⑵若抛物线的对称轴在y轴的左侧,求a的取值范围。 归纳小结: 抛物线的对称轴、顶点最值的求法: 二次函数知识要点 6、对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),Δ=b2-4ac。当Δ 0时,抛物线与x轴有 个交点,这两个交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。当Δ=0时,抛物线与x轴有 个交点。这时方程ax2+bx+c=0有两个 的根。当Δ 0时,抛物线与x轴 交点。这时方程ax2+bx+c=0根的情况 。 5、已知二次函数 y=kx2-7x-7的图象与x轴 有交点,则k的取值范围是 ( ) 归纳小结: 例1. 选择最优解法,求下列二次函数解析式 已知二次函数的图象过点(-1, -6)、 (1,-2)和(2,3). 已知二次函数当x=1时,有最大值-6,且其图象过点(2,-8). 已知抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(1,0)并经过点M(0,1). 例3、已知:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A (1,0)和点B,点B 在点A的右侧, 与y轴交于点C(0,2),如图。 (1)请说明abc是正数还是负数。 (2)若∠OCA=∠CBO,求此抛物线的解析式。 函数应用题的解题模型 例1、如图所示,某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场,新建墙的总长为30米。(1)如图,设长方形的一条边长为x米,则另一条边长为多少米?(2)设长方形的面积为y平方米,写出 y与x之间的关系式。(3)若要使长方形的面积为72平方米,x应取多少米? 例4. 请根据图象提供的信息说明解决下列问题:(1)在三月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少?(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?最大收益是多少? 课后训练: 1、求出下列对应的二次函数的关系式 (1)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和(5,0) (2)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4. 2、已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P(2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是x= -1,求该二次函数的关系式. 课后训练: 4.抛物线y=x2+2mx+n过点(2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,求此二次函数的关系式。 3.已知二次函数,当x=3时,函数取得最大值10,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式. 5、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A(4,0),B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴交于点C,且∠ABC=90°,求: (1)直线AB的解析式; (2)抛物线的解析式。 课后训练: 6、已知二次函数y=(m2-2)x2-4mx+n的图象关于直线x=2对称,且它的最高点在直线y=x+1上. (1)求此二次函数的解析式; (2)若此抛物线的开口方向不变,顶点在直线y=x+1上移动到点M时,图象与x轴交于A 、B两点,且S△ABM=8,求此时的二次函数的解析式. 课后训练: 7、如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A点坐标为(-8, 0),B点坐标为(2, 0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C. (1)求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)设M点为(1)中抛物线的顶点,求出顶点M的坐标和直线MC的解析式; (3)判定(2)中的直线MC与⊙P的 位置关系,并说明理由. A B C 0 · P y x 课后训练: 四、二次函数的应用 某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000max.book118.com:上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005年该市国内生产总值将达到多少? 引例 实际问题 分析、抽象、转化 解答数学问题 数学模型 x 例2、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。 (1)写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围; (2)要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值. 二、抛物线与坐标轴的交点情况 两 一 无 没有实数根 相等 7、若抛物线 与x轴两交点为 则x1 、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根 ; 当 时,两个交点在原点两侧;当 时,两个交点都在原点右侧;当 时,两个交点都在原点左侧。 1、抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为 . 练一练 2、直线y=-3x+2与抛物线y=x2-x+3的交点有 个,交点坐标为 。 3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b= 。 4 一 (-1,5) 4或-4 4.二次函数y=x2-2(m+1)x+4m的图象与x轴 ( ) A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点 练一练 D A、k≥ B、k≥ C、k> D、k> B 练一练 例 题 1、已知抛物线y=x2+ax+a-2. (1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)求这两个交点间的距离(用关于a的表达式来表达); (3)a取何值时,两点间的距离最小? 例 题 2、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1, (1)试说明:不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点; (2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧? (3)若这个二次函数的图象与x轴有两个交点A(x1,0)、B(x2,0), 且x1﹤0﹤x2, OA=OB,求m的值。 3、已知抛物线y=ax2+(b-1)x+2. (1)若抛物线经过点(1,4)、(-1,-2), 求此抛物线的解析式; (2) 若此抛物线与直线y=x有两个不同的交点P、Q,且点P、Q关于原点对称.① 求b的值;② 请在横线上填上一个符合条件的a的值: a = ,并在此条件下画出该函数的图象. 例 题 例 题 4、巳知:抛物线 (1)求证;不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0); (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式; (3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点: 当⊿ABP是直角三角形时,求b的值; 练习: 1、抛物线y=x2-(2m-1)x- 6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它向右平移 个单位。 2、抛物线y=x2+x+c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),若x12+x22=3,那么c值为 ,抛物线的对称轴为 . 3、一条抛物线开口向下,并且与x轴的交点一个在点A(1,0)的左边,一个在点A(1,0)的右边,而与y轴的交点在x轴下方,写出一个满足条件的抛物线的函数关系式 . 4、已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示. (1)当m≠-4时,说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点; (2)求m的取值范围; (3)在(2)的情况下,若OA·OB=6,求C点坐标; X y A B C O 练习: 5、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1﹤x2),则对于下列结论: ①当x=-2时,y=1; ②当x﹥x2时,y>0; ③方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2; ④x1﹤-1,x2﹥-1; , 其中所有正确的结论是 (只需填写序号). 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的两交点A、B的横坐标x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点情况: △>0 抛物线与x轴有两个交点; △=0 抛物线与x轴有一个交点 △<0 抛物线与x轴无交点 1.若抛物线y=ax2+bx+c的所有点都在x轴下方,则必有 ( ) A、a﹥0, b2-4ac﹥0;
九年级数学二次函数总复习.ppt
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