例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD      1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O外一点，∠OAP是直角，PA是⊙O的切线吗？为什么？ 2、如何过⊙O外一点P作⊙O的切线，这样的切线能作几条？ 如右图所示 切线长定义：       在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 在下图中，PA、PB是⊙O的两条切线， 切点分别是A、B，沿直线OP将图形对 折，你发现了什么？ 1、图形是        对称图形， 该图形关于              对称； 2、PA=         ，                  =∠BPO 轴 直线OP PB ∠APO 你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？ 证明：连接OA、OB        ∵PA、PB是⊙O的切线        ∴PA⊥OA、PB⊥OB        即△POA、△POB是直角三角形     又∵OA=OB、OP=OP        ∴△POA≌△POB        ∴PA=PB、∠APO=∠BPO        已知如图，P是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 求证：PA=PB、∠APO=∠BPO 如右图所示 切线长定理：       从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PA、PB分别切⊙O于A、B PA =  PB ∠1=∠2 · O A B 1 2 符号表示 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.             ⌒      ⌒ （1）  AD 与BD是否相等？为什么？ （2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？                     ⌒      ⌒ 解：（1）  AD = BD     ∵PA、PB是⊙O的切线     ∴∠PAO=∠PBO=90° ∠APO=∠BPO     ∴∠AOD=∠BOD     ∴  ⌒      ⌒          AD = BD  （2）∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点          ∴PA=PB      又∵∠APO=∠BPO          ∴OP⊥AB，AC=BC      即OP垂直平分线段AB。 切线长定理的基本图形的研究 PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。   B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中相等的圆弧 （5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB （6）若PA=4、PD=2，求半径OA （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=                              P A B C O 60° （4）OP交⊙O于M，则                    ，ＡＢ      ＯＰ ＡＭ＝ＢＭ ⌒ ⌒ M ⊥ 牛刀小试 （3）若∠P=70°，则∠AOB=        ° 110 （1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA        OA=3 1、过圆外一点可以作圆的     条切线，过圆上一点可以作圆的      条切线。 2、如图，⊙O的半径是5，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=90°,则PA=    ,PO=    ,AB=     。 3、如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D，若PA=6，⊙O的半径为2，则PC的长为      ，∠CPD=    。 （第2题） （第3题） 2 1 5 5√2 5√2 60° 2√3 。 P B A O 反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。 （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点        切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。        如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。      ∴∠OBA+∠3=90°     ∵OB=OA     ∴∠OBA=∠A     ∴∠3+∠A=90° 又∵OD⊥OA     ∴∠1+∠A=90°     ∴∠1=∠3 又∵∠1=∠2     ∴∠2=∠3     ∴BD=CD 解：连接OB，则OB⊥BD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，   DN=DP  ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP   即   AB+CD=AD+BC  补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．  练习1.（口答）如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数 C  · O P B D A E 练习2：已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，                      A、B为切点，BC是直径。           求证：AC∥OP P C A O B D        已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。 （1）如左图，AB是直径，要使得EF是⊙O的切线，还要添加的条件可以是（只需写出3种情况）：        或         或          ； （2）如右图，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B。求证：EF是⊙O的切线。  1、如图，已知AB、AC是⊙O的切线，B、C为 切点，连结BC交AO于D.          ⑴若AD=6，AO=8，求切线AB的长；          ⑵若BC=4，∠BAO=30°，求⊙O的直径。 C  · O A B D · O A B C D E 2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC 是切线，点A、E、B为切点，若BC=9， AD=4，求OE的长. · O A B C D E F 1.切线长定理  从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。  小     结： A P O 。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA =  PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB        切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2.圆的外切四边形的两组对边的和相等 
切线长定理.ppt