相似三角形判定应用练习
1.如图，在中，，是边上一点，连接．
（1）要使，还需要补充一个条件是          （只要求填一个）
（2）若，且，，求的长．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，求AQ∶QR的值。 
3.如图，梯形中，，且，，分别是，的中点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求．
4.如图，△ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。
求证：（1） △ABE∽CBE；  （2）求证：AC=2AE
5. 如图，点，分别在的边，上，四边形是等腰梯形，．与交于点，且．
（1）试问：成立吗？说明理由；
（2）若，求证：是等腰三角形．
6、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：
7、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。
　求证：
8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.
(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。
（1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。
（2）图中共有几对相似三角形？
思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？
10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；
（2）连接FG，若=45°，AB=，AF=3，求FG的长。
11、如图，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
12、如图，正方形的边长为，是边的中点，点在射线上，过作于．
（1）求证：；
（2）当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
13. 如图：F是Rt△ABC斜边AB上的中点，过F作AB的垂线交AC于D，交BC的延长线于点E，
求证：CF2=FD·FE。
14.如图∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=4。
（1）求证：△ABC∽△ADE
  （2）求AD的长。
15、如图①，为等边三角形，面积为．分别是三边上的点，且，连结，可得．
（1）用S表示的面积=         ，的面积=          ；
（2）当分别是等边三边上的点，且时，如图②，求的面积和的面积；
（3）按照上述思路探索下去，当分别是等边三边上的点，且时（为正整数）， 的面积=              ，
的面积=               ．
16、如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的面积与t的函数关系式；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
17、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB，
（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长；
18、请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
19．（2008无锡）如图，已知是矩形的边上一点，
于，试说明：．
20．（2008福建宁德）如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．
解：
21．（山东省临沂）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。
⑴求证：△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。
22.（2008怀化；
（2）
23、（扬州市2008）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G
（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由
（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？
24．(2008安徽)如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求．
[解]
25．（宿迁市2008）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)在直线上是否存在一点，使∽，
若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
26.（2008年江苏南通）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.
（1）求证：AB·AF＝CB·CD	
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. 
27.(2008湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.
   Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.
Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 
设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：
 ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC于F；
③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.
你认为小明的作法正确吗？说明理由.
29.(2008湖北恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
   （3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
   （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
30.（08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在
三角形判定应用练习.doc