* * 第一章第四课时：  因式分解  要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练 要点、考点聚焦 2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： ①分组后能提公因式； ②分组后能运用公式. 1.因式分解的定义 把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个 多项式因式分解式分解因式. 3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有 必须先提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公 因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确. 要点、考点聚焦 3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是(     )        A.x2-y                 B.x2+2x         C.x2+y2                D.x2-xy+y2  课前热身 1.(2004年·南京)分解因式：3x2-3=                             .  2.(2004·河北)分解因式：   X2+2xy+y2-4=                                                             .  3(x+1)(x-1) (x+y+2)(x+y-2) B 4.(2004年·济南)分解因式：a2-4a+4=                      .  (a-2)2 5.(2004年·桂林)分解因式：a3+2a2+a=            . 6.(2004年·呼和浩特)将下列式子因式分解   x-x2-y+y2=                         . a(a+1)2 (x-y)(1-x-y) 课前热身 7.(2004年·大连试验区)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0 的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为：                              .  8.(2004年·北京市)分解因式： x2-4y2+x-2y=                     .  (x-2y)(1+x+2y) 课前热身 （x-1）(x-2) 典型例题解析 【例1】  因式分解： (1)-4x2y+2xy2-12xy； (2)3x2(a-b)-x(b-a)；    (3)9(x+y)2-4(x-y)2； 解： (1)原式=-2xy(2x-y+6) (2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)             =x(a-b)(3x+1) (3)原式=［3(x+y)+2(x-y)］［3(x+y)-2(x-y)］             =(5x+y)(x+5y) 解：(4)原式=(9a2)2-1２                    =(9a2+1)(9a2-1)                    =(3a+1)(3a-1)(9a2+1) 典型例题解析 【例1】  因式分解： (4)81a4-1； (5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1； (6)(a2+b2)2-4a2b2. (5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4 (6)原式=(a２+b2+2ab)(a2+b2-2ab)                   =(a+b)2(a-b)2 【例2】  因式分解：-3an-1+12an-12an+1 (n＞1的正整数). ? 解：原式=-3an-1［1-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1)］                =-3an-1(1-4a+4a2)                =-3an-1(2a-1)2 【例3】  因式分解： (1)m3+2m2-9m-18； 典型例题解析 解：(1) 原式=(m3+2m2)-(9m+18)        =m2(m+2)-9(m+2)        =(m+2)(m2-9)        =(m+2)(m-3)(m+3) 或者： 原式=(m3-9m)+(2m2-18)        =m(m2-9)+2(m2-9)        =(m2-9)(m+2)        =(m-3)(m+3)(m+2) 解： (2)原式=a2-(b2+2bc+c2)             =a2-(b+c)2             =(a+b+c)(a-b-c) (3)原式=(x2)2-5(x2)+4             =(x2-4)(x2-1)             =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)  (4)原式=x3-x2-x2-5x+6             =x2(x-1)-(x2+5x-6)             =x2(x-1)-(x+6)(x-1)             =(x-1)(x2-x-6)             =(x-1)(x-3)(x+2) 典型例题解析 【例3】  因式分解： (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4； (4)x3-2x2-5x+6. 【例4】  求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除.  解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n                   =15×2×2n-1=30×2n-1. ∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.  【例5】  分解因式：x3+6x2+11x+6.  解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6                              =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3)                              =(x+3)(x2+3x+2)                              =(x+3)(x+1)(x+2) 典型例题解析 方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6 =x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2) =(x+2)(x2+4x+3) =(x+2)(x+1)(x+3)  方法三：原式=x3+x2+5x2+5x+6x+6 =x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1) =(x+1)(x2+5x+6) =(x+1)(x+2)(x+3) 方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6) =x(x2+5x+6)+(x2+5x+6) =(x2+5x+6)(x+1) =(x+2)(x+3)(x+1)  典型例题解析 1.因式分解应进行到底. 如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2) =(x2+2)(x+   )(x-    ). 应在实数范围内将它分解到底. 又如：分解因式:22-8x-6=2(x2-4x-3) 令x2-4x-3=0，则 x=             =        =2± ∴2x2-8x-6=2(x-2+   )(x-2-    )  
中考数学复习4-因式分解.ppt