2010年中考数学试题分类汇编 动态问题
24、（2010年浙江省东阳县）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）C的坐标为                 ；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；
并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形
时t的值及S的最大值。
【关键词】运动性问题
【答案】（1）Ｃ（４，１）
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）
（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）    Ｓ＝    
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，           Ｓ＝     
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，           Ｓ＝   
24．（2010年山东省青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
【关键词】
【答案】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
        ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
        ∴∠DEF =∠EQC.
        ∴CE = CQ. 
        由题意知：CE = t，BP =2 t，           	
            ∴CQ = t.
            ∴AQ = 8－t.
            在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
            则AP = 10－2 t.
            ∴10－2 t = 8－t.
            解得：t = 2.
            答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.      	 4分
   （2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
        ∴ .   ∴PM = .
        ∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.
            ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.	8分
   （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ .  ∴ .  
∵    ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.
25．（2010年门头沟区）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数
量关系：             ； 
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．
（可利用（2）得到的结论）            
【关键词】正方形与旋转
【答案】解：（1）如图①AH=AB………………………..1分
（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN
∵ABCD是正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD
∴∠EAM=∠NAM=45°
∵AM=AM 
∴△AEM≌△ANM………………………………….4分
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH…………………………………………….. .5分
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，
得到△ABM和△AND
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.                           
  设AH=x，则MC=,	NC=                             图②
在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得
∴………………………6分
解得.（不符合题意，舍去）
∴AH=6.……………………………………………7分[来源:Zxxk.Com]
图③
1.（2010年山东省济南市）如图，在中，，．动点分别在直线 上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为                         （　 　）
 【关键词】函数的图象
【答案】A
（2010年重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
【关键词】二次函数及动点问题
【答案】
解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴
 解得： b=－  c=－1－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分
∴二次函数的解析式为  －－－－－－－－3分
（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）
∴ OD=m   ∴AD=2－m
由△ADE∽△AOC得，  －－－－－－－－－－－－－－4分
∴
∴DE=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
∴△CDE的面积=××m==
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）－－－－－－－－－－－－－－8分
（3）存在  由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2  x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0）  C（0，－1）
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴   解得：k=－1  b=－1
∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900  OA=2  OC=1
由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0)  点C（0，－1）
∴OB=OC  ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣  在Rt△PCH中
k2+k2=  解得k1=， k2=－
∴P1（，－） P2（－，）－－－10分
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣  GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中  AG2＋PG2=AP2
（2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2) －－－－－－－－－11分
③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
  PQ=CQ=k
由勾股定理知CP=PA=k	
∴AL=∣k－2∣, PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k=∴P4(,－) －－－－－－－－－－－12分
综上所述： 存在四个点：P1（，－）  
P2（－，）   P3(1, －2)    P4(,－)
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