抛物线与三角形面积 
　　抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 　　一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：　　（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：　　SΔ=|x1-x2|·||=··||　　（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：　　SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c| 　　（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。　　二、　1．求内接于抛物线的三角形面积。　　例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。 　　解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,　　∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2. 　　∴ SΔABC=×2×=. 　　例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。 　　解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD 　　=××||+××|2|=. 　　例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。 　　解：由 　　得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，BC=＝3，AC=＝。 　　∵ AC2+BC2=AB2， 　　∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， 　　∴ SΔABC=AC·BC=××3=3。 　　2．求抛物线的解析式 　　例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。 　　解：∵ 对称轴为直线x=-2, 　　∴ -=-2, ∴ b=4, 　　∴ y=x2+4x+c, 　　∵ SΔAMB=··||=·||=8， 　　∴ c=0, ∴ y=x2+4x. 　　例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20， 　　∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。 　　解：如图3，∵ SΔACB=AC·BC， 　　即150=×20·BC， ∴ BC=15， 　　∴ AB===25， 　　又∵ OC⊥AB， ∴ SΔACB=AB·OC 　　即150=×25·OC，∴ OC=12，故C点坐标为（0，12）， 　　∴ AO==16，OB=AB-AO=25-16=9， 　　∴ 点A为（-16，0），点B为（9，0）， 　　∵ 二次函数的图像过A、B、C三点， 　　∴ 解得， 　　∴ 所求解析式为：y=-x2-x+12. 　　3．求抛物线解析式中字母系数的值。 　　例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2, 　　(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点；　　(2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4，求m的值。 　　解：　　(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4 0, 　　∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。 　　(2)SΔ=··|c|=··|m-2|=4. 　　即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0 　　解得 m=6或m=-2. 　　例7．设O和B为抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，O为原点，M为抛物线的顶点，当ΔOMB为等腰直角三角形时，求k的值。 　　解：如图4，作MN⊥x轴于N点，∵ ΔOMB为等腰直角三角形，∴ MN=OB， 　　即||=·， 　　∴ k1=0, k2=-. 　　又∵ 抛物线与x轴有两个相异交点， 　　∴ Δ=(-2)2-4×(-3)k=4+12k 0. 　　∴ k -，故取k=0。 
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2010届中考数学抛物线与三角形面积专题复习题.doc