2003年—2010年山西省压轴题
1. (2003年14分）
   如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N。
    （1）若，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式。
    （2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
     四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明。
     经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由。
1 解：（1）在中，
    在中，
    点（2分）
    又
    点（4分）
    设MP的解析式为
    经过M、N两点
    得
    解之，得
    的解析式为（6分）
    设过M、N、B的抛物线解析式为
    且点，可得
    抛物线的解析式为
    即（8分）
    （2） 四边形OMCB是矩形。（9分）
    证明：在⊙A不动、⊙B运动变化过程中，
    恒有
    ，而，（10分）
    由切线长定理知MC＝MP，
    四边形MOBC是平行四边形。（11分）
    又，四边形MOBC是矩形。（12分）
     存在。由上证明可知
    因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在
    由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称
    这样得到满足条件的三角形有两个，和（14分）
2（2004年14分）
已知次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P.
求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系
中画出该二次函数的图象；
设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆
与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存
在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（1）解：∵二次函数的图象过点A（-3，6），B（-1，0）
得         解得
∴这个二次函数的解析式为：……（4分）
由解析式可求P（1，-2），C（3，0）（5分）
画出二次函数的图象…（6分）
（2）解法一：易证：∠ACB=∠PCD=45°
又已知：∠DPC=∠BAC
∴△DPC∽△BAC………（8分）
∴
易求
∴     ∴
∴…（10分）
 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F.
亦可证△AEB∽△PFD.（8分）
∴.
易求：AE=6，EB=2，PF=2
∴     ∴
∴（10分）
（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG=MH=OM……（11分）
又∵且OM+MC=OC
∴
∴…（12分）
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′
同理OM′+OC=M′C，
得 
∴M′………（14分）
即在x轴上存在满足条件的两个点.
       说明：只写出M、M′的坐标，没有过程的，不得分.
3．（2005年14分)
如图，在平面直角坐标系xOy，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x2+如+c经过点C且与直线AC只有一个公共点．
  (1)求直线AC的解析式．
  (2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．
  (3)点P为(2)中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB?若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由． 
3．解：（1）故直线AC的解析式为  y=-x-1
(2)∵抛物线过C(0，-1)点
x2+(b+1)x=0
∵直线AC与抛物线只有一个公共点C，
∴方程x2+(b+1)x=O有两个相等实数根，
即△=O    ∴b1=b2=-1
∴．抛物线解析式为y=x2-x-1
(3)假设存在符合条件的点P
设P点坐标为(a，a2-a-1)，则Q(a，0)
∵△ADB为等腰Rt△POB∽△ADB
则△PQB为等腰Rt△，又PQ⊥QB
∴PQ=QB  即|a2-a-1|=|a-1|
a1=0  a2=2   a3=   a4=- 
∴存在符合条件的点P，共有四个，分别为P1(O，-1)、P2(2，1)、P3( ，1- )、P4(- ，1+ )
4．（2006年14分）
如图所示，在平面直角坐标系中有点，点，以为直径的半圆交轴正半轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求过，，三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点，使四边形为直角梯形，求直线的解析式；
（4）设点是抛物线上任意一点，过点作轴，交轴于点．若在线段上有且只有一点，使为直角，求点的坐标．
4．（1）解：如图，连结，．依相交弦定理的推论可得，解得．
点的坐标为．	（2分）
（2）解法一：设抛物线解析式是．	（3分）
把，，三点坐标代入上式得解之得
抛物线解析式是．	（6分）
解法二：设抛物线解析式为．	（3分）
把点的坐标代入上式得．
抛物线解析式是．	（6分）
（3）解法一：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯形．设点的坐标是，代入抛物线解析式整理得，
解之得，．
点的坐标为．	（7分）
设过点，点的解析式是．
把点，点的坐标代入上式得
解之得	（9分）
直线的解析式是．	（10分）
解法二：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯形．
由（2）知抛物线的对称轴是，
点的坐标为．	（7分）
（下同解法一）
（4）解：依题意可知，以为直径的半圆与线段相切于点．
设点的坐标为．
①当点在第一或第三象限时，．
把点的坐标代入抛物线的解析式得
，解之得．
点的坐标是或．	（12分）
②当点在第二或第四象限时，．
把点的坐标代入抛物线的解析式得，解之得．
点的坐标是或．
综上，满足条件的点的坐标是，，
，．	（14分）
5．（2007年14分)
关于x的二次函数y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在轴上方．
(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
5．解：(1)根据题意得：k2－4＝0
∴k＝±2
当k＝2时，2k－2＝2＞0
当k＝－2时，2k－2＝－6＜0
又抛物线与y轴的交点在x轴上方
∴k＝2
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2
函数的草图如图所示：
(2)令－x2＋2＝0，得x＝±
当0＜x＜时，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2
∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4
当x＞时，A2D2＝2x
A2B2＝－(－x2＋2)＝x2－2
∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x－4
∴l关于x的函数关系式是：
(3)解法①：当0＜x＜时，令A1B1＝A1D1
得x2＋2x－2＝0
解得x＝－1－(舍)，或x＝－1＋
将x＝－1＋代入l＝－2x2＋4x＋4
得l＝8－8
当x＞时，A2B2＝A2D2
得x2－2x－2＝0
解得x＝1－(舍)，或x＝1＋
将x＝1＋代入l＝2x2＋4x－4
得l＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
解法②：当0＜x＜时，同“解法①”可得x＝－1＋
∴正方形的周长l＝4A1D1＝8x＝8－8
当x＞时，同“解法①”可得x＝1＋
∴正方形的周长l＝4A2D2＝8x＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上
∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，－x2＋2)
令AB＝AD，则＝2x
∴－x2＋2＝2x                                      ①
或－x2＋2＝－2x                                    ②
由①解得x＝－1－(舍)，或x＝－1＋
由②解得x＝1－(舍)，或x＝1＋
又l＝8x
∴当x＝－1＋时，l＝8－8；
当x＝1＋时，l＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
6．（2008年14分）
如图，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动．点
2003年—2010年山西省压轴题.doc