2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考
                                                  上海市光明初级中学  刘颖颋
近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。
背景1：如图点P是正方形ABCD对角线上任意一点。求证：PA＝PC
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝
又∵BP＝BP
△ABP≌△CBP PA＝PC
背景2：接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交AB（或AB的延长        线）于点Q。求证：PQ⊥PC
证明：∵PA＝PQ∠1＝∠3
又∵△ABP≌△CBP ∠1＝∠2
∠1＝∠2＝∠3
而：∠3＋∠4＝∠2＋∠4＝
又∵∠QBC＝
∴∠QPC＝ PQ⊥PC
当点Q在AB的延长线上时，
∵∠2＝∠3；∠4＝∠5△BQH∽△CPH
∴∠QPC＝ PQ⊥PC
背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：PQ＝PC
证明：过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N
∵∠1＋∠QPC＝∠2＋∠PNC∠1＝∠2
又∵∠MBP＝MP＝MB＝NC
而∠QMP＝∠PNC＝△QMP≌△PNC PQ＝PC 
从上述的几个背景看出，当∠QPC＝时，一定有PQ＝PC，即；但反过来当，即PQ＝PC时，因为有PA＝PC时∠APC＝不一定成立，所以∠QPC＝不一定能够成立。
下面我们将背景弱化：
背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：
证明：易证：△QMP∽△PNC
背景5：如图，矩形ABCD的AB＝a，AD＝b，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索a，b满足什么条件时，会有PQ⊥PC
探索：正常情况下，
△QMP∽△PNC∠QPC＝ PQ⊥PC
但若点Q关于MN的对称点也在射线AB上时，如同上述背景一样，连P，∠PC＝就不一定成立了。
这里：；
两式相乘：
从这两个背景看出，当∠QPC＝时，一定有；但反过来当时，∠QPC＝若遇到b＞a时就一定能成立。
背景6：如图四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝，若将一个直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB（或AB的延长线）交于点Q。求证：
证明：易证：△QMP∽△PNC
背景7：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝， AB＝a，BC＝b，AD=x,点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索x与a、b之间应该满足什么条件时，一定会有PQ⊥PC 
探索：正常情况下，
△QMP∽△PNC∠QPC＝ PQ⊥PC
但若点Q关于MN的对称点也在射线AB上时，如同上述背景一样，连P，∠PC＝就不一定成立了。所以这里我们应该关注当点“最低”时点P的位置，其实无论AD边的长度如何要使得点的位置“最低”，那么点P的位置只能与点B重合。   
这时△DP∽△PQC，且P＝PQ
又∵，而当AD＞时，在AB、BC都是定值的情况下，PQ也就变大了，
即点就不在射线AB上了（而是在射线BA上了），那样∠PC＝就一定成立了
所以结论就是当AD＞时，∠PC＝一定成立
09上海市中考数学压轴题：
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）．
（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；
（2）在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小．
第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）”时，一定有∠QPC＝
第二步：做第一小题时，我们知道AD＝AB时一定有PB＝PC，又因为有∠BAD＝
又∵BC＝3。出题者的本意是想给同学一个∠QPC＝的提示的。但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到。
第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个，所以我们还要对这个图形单独地做个分析：这是的△ADB和△PQC都是3︰4︰5的直角三角形，因为BC＝2AD，也容易证明△DBC为等腰三角形，DC＝DB等等。
第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x等于多少？y存在还是不存在？
要注意这里的“点P为线段上的动点，点在线段上”，所以有三个图：  
在图1中x＝0，y是存在的，在图3中
而，这时y也是存在的。
所以x的取值范围应该是：。
在图2中我们容易知道：
第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点在线段的延长线上时、如图10所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。
最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题的能力要求和数学计算要求。确实是一道好题。
  以上的几何背景分析也许能反映作者平时理解问题的不简捷，简单问题往往复杂化，再加上写得匆忙没来得及仔细斟酌合适的表达语句，错误之处还望各位同行或专家批评指正。
6
A
D
P
C
B
Q
图8
D
A
P
C
B
（Q）
）
图9
图10
C
A
D
P
B
Q

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