从真题中看方法、提升高度（2010）
讲其所以然，听其所以然
田祥彪析题方法
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则        （    ）
A．          B．C．D．满足等式，，则可能取的最大值为     （    ）
A．          B．C．D．是两个正数，且  则                                  （    ）
A．    B．C．D．的两根也是方程的根，则的值为 （    ）
A．          B．C．D．中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则                                                        (    )
A．          B．C．D．如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．
∵ ，∴，，
，，
于是，，．
又∵，，
∴ ,．
在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴ △CDA≌△CBF，
∴ ．
于是，．
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则                                                      （    ）
A．          B．C．D．不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）.
1在千位上出现的次数为，1在百位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为.
2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为.
类似的，可求得出现的总次数均为.
因此＝28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则        .
二元方程组而已，如何降次而已
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则        ．
【答】 ．
目标：关于C的方程！它在哪里呢？
分析：数形结合，并结合韦达定理，易得结论
3．在等腰直角△ABC中AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
【答】  .
田老师解析：
本题解法其实用更高的视角观察，只是在求P点坐标，其实P点即为
分别以A和C为圆心的圆的交点
X2+(Y-5)2=25
Y2+(X-5)2=5
 联立得，P（3，1）或p(4,2)
又点p在三角形ABC内部，所以只取P（3，1）
所以，PB=
从此题看，许多初中问题，如果拿到高中来看，其思路和方法都有质的提升，原来的陌生变为熟悉，原来的难题变得容易了，其思维方式也变得更加自然和流畅。
希望同学们细心体会。
解题最重要的如何使思维更加自然，大家最需要学习的是，这个题目为什么这样去想，它是不是最好的方法，它是不是最自然的思维，为什么这样去想，为什么这样想和做是最自流畅的“数学翻译”，数学不过是三种语言之间的互译，我们是不是得到的是通法，否则，你只是会解题，只是知道，这样可以把题目做出来，但不知道为什么这样做，当我们没有这个能力时，我们没有使自己的视野变得高远，我们只是在自我的小圈子里打转转，这时候，我们所欠缺的，就是知识了。
这正说明：学习，就是不断提高自己起点的过程。
学习是有乐趣的，只要你肯钻进去。
作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得                           
                      ①
                     ② 
②－①，得，所以，
代入①中，得，解得，.
当时，，在Rt△PAE中，由勾股定理可得.
当时，，此时，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.
因此.
4．将红、黑两种颜色的球摆两种球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按摆放将这些球的位置标号为1，2，3，4，由于1与7号中间5个球，1号与12号中间有10个球，12与6中间有5个球，7与13中间有5个球，13与2中间有10个球，2与8中间有5个球，8与14中间有5个球，14与3中间有10个球，3与9中间有5个球，9与15中间有5个球，15与4中间有10个球，4与10中间有5个球，因此1，7，12，6,?13，2，8，14，3，9，15，4，10，5，11为另外的一种颜色如果多于15个则16号球与10同色，5号球与16中间有10个球，所以5与16同色所有的球，与要求不符.按摆放（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.此题可暂不讲
解  由已知等式可得
                                            ①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
                                                         ②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和  …………10分
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.             ……………………20分
三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.此题可先不讲
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解  点P、Q在二次函数的图象上，故，，
解得，.                                   ………………………………5分
（1）由知解得.
又为整数，所以，，.      ………………………………10分
(2) 设是方程的两个整数根，且.
由根与系数的关系可得，，消去，得，
两边同时乘以9，得，分解因式，得.
………………………………15分
所以或或或
解得或或或
又是整数，所以后面三组解舍去，故.
因此，，，二次函数的解析式为.
………………………………20分
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.
………………………………25分
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解  不妨设，由已知等式可得
                                            ①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
                                                         ②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和  …………10分
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. …………15分
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.             ……………………20分
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．此题正是二次函数，可讲一下
解  由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得，从而有
                   ①………………………5分
（1）若，则方程为，它有两个整数根和．………………10分
（2）若，则.
因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.
又因为为质数，由①式知或．
不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，
……………………………15分
故，即．
又，所以，即
                                            ②………………………20分
如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.
如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.
因此，时，方程不可能有整数根． 
综上所述，．                                          ………………………………25分
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2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准    第4页（共7页）
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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准    第6页（共7页）
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准    第7页（共7页）

2009数学竞赛题分析.doc