第二十讲 应用问题的算术解法与代数解法
　　从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习．仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题．从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的．首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式．由于在常见的数量关系中，可以说应用问题是最基本的讨论对象，因此，在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容．只不过在小学是用“算术解法”，而在中学是用“代数解法”．下面举几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会代数解法的优越性．
　　1 某农场计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍．试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？
　　(4+1)倍，因此种大豆的公顷数=总播种公顷数÷(4+1)，
　　=总播种公顷数-种大豆的公顷数，即
138÷(4+1)=27.6(公顷)，
138-27.6=110.4(公顷)．
　　27.6公顷，小麦110.4公顷．
　　x表示要求的一个未知量，例如，设种大豆x公顷；再由题目的条件可知，种小麦4x公顷．因此，只要根据关系式
　　=种小麦公顷数+种大豆公顷数
　　138”，就可以直截了当地写出以下等式(含有未知数的等式，也叫方程)
4x+x=138．
　　x是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律．为此，我们对上式做如下变形
(4+1)x=138，
　　 5x=138．
　　5，得
x=27.6(公顷)．
　　 4x=4×27.6=110.4(公顷)．
　　27.6公顷，种小麦110.4公顷．
　　x表示待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一个等式，再应用运算律(或等式的基本性质)，求出这个未知数x应取的数值，使问题得到解决．
　　2 鸡兔同笼．共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？
　　160只脚，如果我们假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的一半，即80只脚．这80只脚中鸡的脚数与头数相等．因此，
　　80-56=24(只)；
　　56-24=32(只)．
　　x只，则鸡为(56-x)只，兔的脚数为4x，鸡的脚数为2(56-x)，又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程
4x+2(56-x)=160．
　　去括号
4x+112-2x＝160，
　　合并同类项
4x-2x＝160-112，
　　 2x=48，
　　 　　 x=24()…兔数．
　　 　　56-24=32()…鸡数．
　　x代表兔(或鸡)的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程．下一步解方程求未知数x的值，只是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧．因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在．
　　3，初步讨论一下这个问题．
　　3 设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各几张？
　　5元的人民币，则共计
5×12=60(元)，
　　与总和相差
85-60=25(元)．
　　10元的票子去换一张5元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加
10-5=5(元)．
　　25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是
　　10=(85-60)÷(10-5) ①
=25÷5＝5．
　　5=12-5=7．
　　10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为(12-x)，其中x是一个待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据
　　10+5元人民币的总元数=85，则可写出下列方程
　　10x+5(12-x)=85
　　x值，就可得到解答了．
　　用分配律，去掉②中之括号，得
10x+5×12-5x＝85，
　　由交换律、分配律得
(10-5)x+60＝85，
　　60，得
(10-5)x=85-60，
　　(10-5)，得
　　x=(85-60)(10-5)=5． ③
　　x，表示问题中待求的量(如10元人民币的张数)，然后把未知数代入问题中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值．在本例中，方程②的解就是③式
x=(85-60)÷(10-5)=5．
　　容易看出，算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③，然后对于公式③中的每一步进行计算：
60=5×12，
85-60=25，
10-5=5，
(85-60)÷(10-5)＝25÷5=5．
　　并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了．
　　同学们可能会问，在算术解法中，怎么会发现求值公式①呢？对这个问题的回答，大体有两种可能：
　　第一种可能是先用代数解法，由②求得公式①，但由于小学还没有学习代数，所以只好耐心地对①式中的每一步计算，结合题意加以解释，使同学们了解算术解法的合理性．
　　12张人民币都是5元的，则12×5=60；假如11张为5元，1张为10元，则11×5+10=65；假如10张为5元，2张为10元，则10×5+2×10=70；以此类推，不难发现当10元人民币的张数由0逐次加1时，总金额由60开始逐次加一个5，而①式就是这个意思．
　　把两种解法加以比较可以看出，算术解法的准备工作，对于给定类型的问题，先做一番实验归纳工作，从而求得解决该类问题的公式，或合理的有顺序的计算步骤，然后还要逐步对公式中的计算找出理由加以解释．显然，这样做是缺乏普遍性的．
　　而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把问题中的数量关系，特别是等量关系用代数方程表示出来，然后再利用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知量应有的值，所以代数解法直截了当、简捷明快，具有高度普遍性．
　　一般说来，算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同．但代数解法的基本原理就是有效地利用了“运算律”和“等式性质”，所以这种解法不仅具有普遍性，也具有统一性．
　　4 有两个图书馆，自建馆以来，每年各进图书5千册，如果今年甲馆藏书23万册，乙馆藏书11万册，今后仍然是每年各进图书5千册，试问由今年起，什么时候甲馆藏书是乙馆的3倍？
　　下面用代数解法来解本题，以便从中进一步体会它的普遍性．
　　x年后甲馆藏书是乙馆的3倍，则有代数方程
(23+0.5x)=3(11+0.5x)．
　　利用分配律得
23+0.5x=33+1.5x，
　　0.5x得
23=33+1.5x-0.5x，
　　33得
23-33=1.5x-0.5x，
　　利用分配律得
23-33=(1.5-0.5)x， -10＝x，
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x=-10
　　10年前甲馆藏书已是乙馆藏书的3倍．
　　由此可见，代数解法，由于用字母表示了数，所以对所求的结果用正、负数的意义加以解释，就得到了这一问题的答案．这也就说明了代数解法比算术解法更具有普遍性．
练习二十
　　1
　　(1)60％用现金出售，25％用记账出售，15％用支票出售．如果支票出售的钱比记账出售的钱少4000元，那么现金出售的钱是多少？
　　(2)4块，则余14块，如果每人5块，则又少15块，试问班上共有多少人？共有多少块糖？
　　25件，第二道工序每人每小时可做3件，现在有工人40人，如何分配劳动力才能使生产配套？
　　32000公顷小麦，每天比预计多播50公顷，因此提前2天完成，求实际播种天数．
　　490千克，比木梁长2米的铁梁重160千克，已知每米木梁比铁梁轻5千克，求两根梁的长．

初一数学竞赛辅导（第20讲）.doc