初一数学竞赛系列讲座(6)
整式的恒等变形
知识要点
整式的恒等变形
把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形
整式的四则运算
   整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
乘法公式
   乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：
   ① (a+b) (a-b)=a2-b2
   ② (a±b)2=a2±2ab+b2
   ③ (a+b) (a2-ab+b2)=a3+b3
   ④ (a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3
   ⑤ (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
   ⑥ (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc
   ⑦ (a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3
整式的整除
如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
余数定理
多项式除以 (x-a) 所得的余数等于。
特别地=0时，多项式能被(x-a) 整除
例题精讲
例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”
解 因1+2+3+…+1998=是一个奇数，
又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0
所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，
即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1
故所求最小的非负数是1。
   例2 计算 (2x3-x+6)?(3x2+5x-2)
   分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。
解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12
             =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12
   评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。
   解法2          2+0-1+6
               ()  3+5-2       
                   6+0-3+18
                    10+0-5+30
                       -4+0+2-12
                   6+10-7+13+32-12
     所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12
  例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数
  解 x8的系数=2(2+(-3) ( (-1)+(-7) (3= -14
  评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开。
  例4计算 (3x4-5x3+x2+2)((x2+3)
  分析 整式除法可用竖式进行
  解             3 x2 – 5x - 8         
      x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2
           3x4    +9 x2       
              - 5x3 -8 x2+ 0x
              - 5x3    -15x    
                  -8 x2+15x+ 2
                  -8 x2    - 24
                       15x+ 26
所以，商式为3 x2 – 5x – 8，余式为15x+ 26
评注：用竖式进行整式除法要注意：
被除式和除式要按同一字母的降幂排列；
如被除式和除式中有缺项，要留有空位；
余式的次数要低于除式的次数；
被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式(商式+余式
例5计算 (2x5-15x3+10x2-9) ((x+3)
分析 对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。
解     -3   2  0  -15  10  0  -9  
             -6   18  -9  -3  9 
           2  -6    3   1  -3  0
    ∴ 商式=2x 4-6x3+3x2+x -3
评注：用综合除法进行整式除法要注意：
被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用0补上；
把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；
下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数。
如果除式是一次式，但一次项系数不是1，则应把它化到1才能用综合除法。
例6已知x+y= -3，x3+y3= -18，求x7+y7的值
分析：先通过x+y= -3，x3+y3= -18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x 4+y 4，最后求出x7+y7的值
解 由x3+y3=(x+y) 3-3xy (x+y) 得 -18=(-3) 3-3 xy((-3)   ∴xy=1
   又由 x2+y2=(x+y) 2-2xy 得 x2+y2=(-3) 2- 2(1=7
   而x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47
   ∴(-18)(47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3 (x+y)= x7+y7 -3
   从而x7+y7= -843
评注：本题充分利用x+y和xy，与x2+y2、x 4+y 4、x7+y7的关系来解题。
   例7 求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除
   分析 如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作a和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。
   解 (x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3
=[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]3 - 3((x2-xy+y2) (x2+xy+y2)[ (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]
=(2x2+2y2)3-3((x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2)
所以原式能被2x2+2y2整除。
评注：本题采用的是整体处理思想。
例8 试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数。
解法1  x285-x83+x71+x9-x3+x=( x285-1) – (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) – (x3-1)+( x -1)+2
   因为x285-1、x83-1、x71-1、x9-1、x3-1、x -1均可被x-1整除，
   所以，原式被x-1除所得的余数是2。
   解法2 由余数定理，余数等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1时值，即
          余数=1285-183+171+19-13+1=2
   评注：本题两种解法中，解法1是通过恒等变形，将原式中能被x -1整除的部分分解出，剩下的就是余数。解法2是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握。
例9 研究8486，98(92，…的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律。
分析：观察8486，98(92，…可得：它们的十位数字特点是8=8，9=9；而它们的个位数字和为4+6=10，8+2=10。则可设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10
 解：根据上面的分析，设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10
     则 (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc
                      =100a2+100a+bc
                      =100a(a+1)+bc
 评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算。
如72(78=100(7(8+2(8=5600+16=5616
例10 已知关于x的三次多项式除以x2-1时，余式是2x-5；除以x2-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式。
分析：利用被除式=除式(商式+余式的关系来解。
解：设这个三次多项式为ax3+bx2+cx+d (a≠0)，因为这个三次多项式分别除以x2-1和x2-4，故可设两个商式是：ax+m和ax+n，由题意得：
    ax3+bx2+cx+d=( x2-1) (ax+m)+2x-5     ①
    ax3+bx2+cx+d=( x2-4) (ax+n)+ (-3x+4)   ②
    在①式
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