初一数学基础知识讲义
主讲：邓芸
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第一讲 和绝对值有关的问题
知识结构框图：
数
绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。 
也可以写成： 
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A   ）
  A．-3a      B． 2c－a    C．2a－2b    D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：，，且， 那么
的值（   C    ）
A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号
解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
    所以 
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：， 
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x 0，y 0，则 4y=8  ，所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x 0，y 0，则 -4y=8  ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x 0，y 0，则 -2y=8  ，所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧，即 x 0，y 0，则 2y=8   ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程 的解的个数是（  D ）
A．1个     B．2个    C．3个     D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．
|ab－2||a－1|
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 
如果题目变成求                                     值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等              .
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
可以表示为                  ．
分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？
    结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x -1时，距离为-x-1,        当-1 x 0时，距离为x+1，     当x 0，距离为x+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为
（3）结合数轴求得的最小值为  5    ，取得最小值时x的取值范围为    -3≤x_≤2______.
分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图，x在数轴上的位置有三种可能：
图1                      图2                            图3
图2符合题意
（4） 满足的的取值范围为     x -4或x -1    
分析： 同理表示数轴上x与-1之间的距离，表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x -4或x -1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。 
小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 
二、典型例题
例1．若多项式的值与x无关，
求的值.
分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零
因为
所以  m=4
将m=4代人，
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。
分析： 因为
当x=-2时，  得到，
所以
当x=2时，=
例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.
分析：观察两个代数式的系数
由  得 ，利用方程同解原理，得
      整体代人，
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知，求的值.
分析：解法一（整体代人）：由  得 
所以：
解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
由，得，
所以： 
解法三（降次、消元）：（消元、、减项）
例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）
第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050
第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250
第n年：A公司 10000+200(n-1）；  
B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，
则 的值是_______ 。
解：因为abc 0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c 0，所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a 0，b 0，c 0
则ab 0，ac 0，bc 0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
同理，当b 0，c 0时，x=0。
另：观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线        ____上，
“2008”在射线___________上．
（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________________________．
分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…
     观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，
     归纳得到，这列数可以表示为6n-5
因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。
因为2008=334×6+4
初一数学特训班讲义.doc