二0一0年中考数学压轴题汇总十一
1、（2010年江苏盐城，28，12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
【分析】x2+x+1.（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 轴于点C．可得解析式为：y=x2+x+1. 则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1），坐标为A（0，1），从而可以得到Rt△PCB∽Rt△BOA，可得PC=2BC，
设P点的坐标为(x，y)，可求出x -2。从而得出BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， 得到P点的坐标为(x，-4-2x)，代入关系式可求出P点的坐标为：(-10，16).
（3）要求点M 在不在抛物线y=ax2+x+1上，可以代入使左边等于右边即可.
【答案】≠0时，△=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的解析式为：y=x+1 或`y=x2+x+1……（3分）
   （2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x 
轴于点C．
∵是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）………（4分）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B  ∴PB⊥AB  则∠PBC=∠BAO
  ∴Rt△PCB∽Rt△BOA
  ∴，故PC=2BC，…………………………（5分）
设P点的坐标为(x，y)，∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，∴∠PBO是钝角，∴x -2
∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
∵点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，∴-4-2x=x2+x+1……（6分）
解之得：x1=-2，x2=-10
∵x -2 ∴x=-10，∴P点的坐标为：(-10，16)……………（7分）
（3）点M不在抛物线上………………（8分）
由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ 
∴QE∥MD，QE=MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE  PC⊥x 轴 ∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE= tan∠EQB= tan∠CPB =
CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=
∴Q点的坐标为(-，)
可求得M点的坐标为(，)…………………………………………………（11分）
∵=≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上……………………（12分）
(其它解法，仿此得分)
【涉及知识点】【点评】2010江苏扬州，2，1分）90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
【分析】1),可利用勾股定理求出AB的长,然后利用面积相等确定CD的长,在Rt△ACD中,再一次利用勾股定理可求AD的长,或者利用相似三角形对应边成比例来求AD的长;问题(2),利用△AEF∽△ADC来确定y与x的函数关系式;问题(3),假设存在,由△AFG∽△ACD把问题转化成二次函数的问题进行求解.
【答案】解：（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=
              （2）①当0＜x≤时
                    ∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
                   当＜x≤5时
                  易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）
                   ∴y=·x·（5—x）=≤
②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.
y=≤,即当x=时，y最大值为
                  当＜x≤5时，
         ∵
        ∴当时，y的最大值为
       ∵＜
       ∴当时，y的最大值为
（3）假设存在
     当0＜x≤5时，AF=6—x
     ∴0＜6—x＜3
     ∴3＜x＜6
     ∴3＜x≤5
     作FG⊥AB与点G
    由△AFG∽△ACD可得
    ∴，即FG=
    ∴x·=
    ∴=3，即2x2-12x+5=0
    解之得x1=，x2=
    ∵3＜x1≤5
    ∴x1=符合题意
     ∵x2=＜3
     ∴x2不合题意，应舍去
     ∴存在这样的直线EF，此时，x=
  	【涉及知识点】
【点评】则 ＝n
如： ＝ ＝0， ＝ ＝1， ＝2， ＝ ＝4，…
试解决下列问题：
   （1）填空：① ＝       （π为圆周率）；
        ②如果 2x－1 ＝3，则实数x的取值范围为        ；
   （2）①当；
②举例说明不恒成立；
   （3）求满足的所有非负实数x的值；
   （4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x2－x＋的自变量x在n≤x≤n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足的所有整数k的个数记为b. 
        求证：a＝b＝2n. 
【分析】≤2x－1＜3+，解这个不等式组，可求得x的取值范围；（2）根据定义进行证明和举反例；（3）用图象法解，可设y＝ ，y＝，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x的值．（4）根据在＜n≤x≤n＋1范围内y随x的增大而增大，所以可得出y的取值范围，从而求出y的整数解的个数，同样地由定义得，，把此式两边平方可得k与y的取值范围一致．所以a＝b.
【答案】 
   （2）①证明：
    [法一]设 ＝n，则n－≤x＜n＋，n为非负整数；  
又(n＋m)－≤x＋m＜(n＋m)＋，且m＋n为非负整数，
  ∴ x＋m ＝n＋m＝m＋  
[法二]设x＝k＋b，k为x的整数部分，b为其小数部分
1）当0≤b＜0.5时， ＝k
m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分
 x＋m ＝m＋k
∴ x＋m ＝m＋ 
2）当b≥0.5时， ＝k＋1
则m＋x＝(m＋k)＋b，m＋k为m＋x的整数部分，b为其小数部分
 x＋m ＝m＋k＋1
∴ x＋m ＝m＋ 
综上所述： x＋m ＝m＋ 
②举反例： ＋ ＝1＋1＝2，而 0.6＋0.7 ＝ ＝1，
∴ ＋ ≠ 0.6＋0.7 ，∴ ＋ ＝  x＋y 不一定成立．
   （3）[法一]作的图象，如图  
   （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分）
y＝ 的图象与y＝图象交于点(0，0)、、
∴x＝0，
  [法二]∵x≥0，为整数，设＝k，k为整数
则x＝，∴＜＞＝k，∴
∵0≤k≤2，∴k＝0，1，2
∴x＝0，
   （4）∵函数y＝x2－x＋＝(x－)2，n为整数，
当n≤x＜n＋1时，y随x的增大而增大，
∴(n－)2≤y＜(n＋1－)2即(n－)2≤y＜(n＋)2，  ①∴n2－n＋≤y＜n2 ＋n＋，∵y为整数
∴y＝ n2－nn2－nn2－nn2－n   ③
比较①，②，③得：a＝b＝2n   
  	【涉及知识点】
【点评】
4、26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为(－1，0)，（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式．
（2）若点P从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE＝PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为ｔ秒，（0≤ｔ≤6）设△PBF的面积为S．
①求S与的函数关系式．
②当是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
（３）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由三点坐标即可求得抛物线的解析式；（2）根据点P在点的位置需要分类讨论，再根据相似三角形知识列出S与t的二次函数关系式，通过顶点式或公式求得最大面积；（３）是直角三角形，也要分两种情况（点F在原点左侧与右侧）通过勾股定理的逆定理进行讨论求出。
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把A

2010中考压轴题11.doc