二0一0年中考数学压轴题汇总七
1、（2010年 乌鲁木齐 24  12分）如图9，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)当点E坐标为（3,0）时，试证明CE=EP;
(2)如果将上述条件“点E坐标为（3,0）”改为“点E坐标为（t,0） (t 0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由;
(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由。
【分析】（1）CE是△COE的斜边，要说明CE=EP，需要构造以EP为边的直角三角形，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则△COE∽△EHP，又因为AP是角平分线，可得AH=PH，通过方程求得PH的长度，再由勾股定理求得EP的长度．
（2）第二问是第一问的变式，同理可得出CE=EP．
（3）过点B作BM∥EP交y轴于点M，只需证明BM=EP，根据已知条件可以得到△BCM≌△COE，所以ＢＭ＝ＣＥ，又因为ＣＥ＝ＥＰ，所以BM=EP，即四边形BMEP是平行四边形．
【答案】解：（1）过点P作PH⊥x轴，垂足为H
∴∠2＝∠1＝900
∵EF⊥CE
∴∠3＝∠4
∴△COE∽△EHP
∴   
由题意知：CO＝5   OE＝3   
 EH＝EA＋AH＝2＋HP
∴  得HP=3  	
∴EH=5
在Rt△COE和Rt△EHP中               
∴,
∴CE=EP
（2）CE=EP仍然成立
同理△COE∽△EHP
∴
由题意知：CO＝5   OE＝t    EH＝5-t＋HP
∴ 
 整理得 （5-t）HP=t(5-t)
∵点E不与点A重合， 
∴5-t≠0  
∴HP=t  EH=5
∴在Rt△COE和Rt△EHP中   
,
∴CE=EP
(3) y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形
过点B作BM∥EP交y轴于点M
∴∠5＝∠CEP＝900
∴∠6＝∠4
在△BCM和△COE中
∴△BCM≌△COE    
∴BM=CE
而CE=EP
∴BM=EP
由于BM∥EP
∴四边形BMEP是平行四边形
由△BCM≌△COE可得CM=OE=t
∴OM=CO-CM=5-t
故点M的坐标为（0，5-t）
【涉及知识点】平面直角坐标系，勾股定理，相似三角形，全等三角形，平行四边形的判定等多个知识点．
【点评】本题巧妙将平面直角坐标系，勾股定理，相似三角形，全等三角形，平行四边形的判定等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题
2、（2010湖北鄂州24，12分）如图，在直角坐标系中，A（－1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
【分析】解得，∴抛物线的解析式是：y= x2+x+2．
（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=，∴t=．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=，∴，解得t=．
③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=PC，∴t=（－t），解得t=．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2－2x－4=0，解得x=1±，∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1－，）．
【涉及知识点】
【点评】
3、（2010湖北恩施，24，12分）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
【分析】二次函数的图象A、B两点A、B两点二次函数二次函数的表达式．连结PP 则PE⊥CO，即可得= 从而求得P点的坐标为（，）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，ABPC可分为△ABC、△CPQ、△BPQ三部分，从而可得四边形ABPC面积与P点横坐标x的函数关系式，从而求得四边形 ABPC的面积最大时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 
解得：  
所以二次函数的表达式为： 
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴=． 
∴= 
解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为
则Q点的坐标为（x，x－3）.
=  
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．  	【涉及知识点】菱形【点评】菱形菱形顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．
【分析】垂直，可得，∴，代入y＝－x2＋2x，解得∴点P坐标为（，）或（，），所以分两种情况，通过计算可得△PFM为正三角形；（3）由PM＝PN可得＝，
整理得，，解得，（舍去），故存在点N（1，），使PM＝PN恒成立．
【答案】垂直，
∴，∴，
把代入y＝－x2＋2x，解得∴点P坐标为（，）或（，），
当点P坐标为（，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，
当点P坐标为（，）时，MP＝MF＝PF＝1，∴△PFM为正三角形，
∴当点P坐标为（，）或（，）时，△PFM为正三角形；
（3）存在，∵PM＝PN
∴ ＝，
两边同时平方得，＝
∵y＝－x2＋2x，
∴，
解得，（舍去），
故存在点N（1，），使PM＝PN恒成立．
【涉及知识点】
【点评】．
与直线有两个交点.
（1）当的中点落在轴时，求的取值范围；
（2）当，求的最小值，并写出取最小值时，抛物线解析式；
（3）设点在之间的一段抛物线上运动，表示的面积.
①当，且抛物线与直线的一个交点在轴时，求的最大值，以及此时点
的坐标；
②当（正常数）时，是否仍有最大值，若存在，求出的最大值以及此
时点的坐标满足的关系，若不存在说明理由.
【分析】从而求出。第二问，由可得=2 即从而得到的最小值为0；此时，抛物线为
第三问是有关抛物线的弦长问题，涉及到二次函数的单调性及二次函数背景条件下的三角形的面积求法。涉及的内容比较复杂，计算也有一定的困难。难度值大。
【答案】得    ①
设交点 
由题意是方程①的两个不同的实根.
且    故
；	（3分）
（2）.如图可知
=2          即
由（1）可知
代入上式得：
的最小值为0；此时，抛物线为	（3分）
（3）①由（2）知成立.
又抛物线与直线的交点在轴时这一交点为（0，1）即.
或3.
若则抛物线为
方程①为.
过作轴，交于.
与公共边上的高之和为.
而.
.
而当时，此时.
若，则抛物线为
方程①为.  
同理可得：.
而
时，．此时	（2分）
②当时，，由①可知与公共边上的高之和为②
=
（将②代入）
当时，.
此时，由②得
.
即点的坐 满足	（2分）
  	【涉及知识点】【点评】已知函数y＝的图象点A轴交于点；二次函数图象与一次函数y＝、两点，与轴交于、两点且点的坐标为
（1）求；
（2）轴上是否存在点P，使得△是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由。
【分析】y＝的解析式中，可以列方程组求出b=，  c=1，所以（2）求四边形BDEF的面积，因为四边形不规则，不能直接用面积公式，可以用分割法来求出，四边形BDEF的面积S=S△CAE－S△ABD，分别过点A、B点D、E，S=4.5,
(3) 若△是以为直角顶点的直角三角形,可以构造三角形相似来列方程’可以直接求出OP的长,从此求出点P的坐标.也可以利用勾股定理的逆定理和勾股定理列方程来求出OP的长.但

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