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2011年杭州中考数学第24题改编题
如图,已知Rt△AOB中,∠AOB=90o,AO=5,BO=3,点E、M是线段AB上的动点(不与端点重合),分别过E、M作AO的垂线,垂足分别为K、L.
(1)求△OEK面积S的最大值;
(2)若OE=OM(点E、M不重合)求 OK+OL=.
解∵EK⊥OA,∠AOB=90o,
∴△OBA∽△KEA.
∴.
∴.
∴.
∴S=OK·KE=.
记OK=x,
则=.
∴当x=时,S有最大值,最大值为.
(2)记OK=a,OL=b,
由(1)得, ,.
由OE=OM得
=.
∴=-.
(a+b)(a-b)= ·.
设a+b=y, ∵a≠b,
得.
解得,即OK+OL=.: (1)改编的目的一是为了简化,二是为了使考生便于表述;
(2)第(2)小题的计算有些繁,但思路简单,不知道有没有更好的思路.
附:2011年杭州中考数学第24题原题
图形既关于点O中心对称,又关于直线AC、BD对称,AC=10,BD=6.已知点E、M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF、MN的距离分别为、.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.
(1)求蝶形面积S的最大值;
(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求与满足的关系式,并求的取值范围.
解:（1）由题意，得四边形是菱形.
由，得，，即
所以当时，.
（2）根据题意，得.
如图，作于， 关于对称线段为，
1）当点不重合时，则在的两侧，易知.
，
由，得
，即
，此时的取值范围为且
2）当点重合时，则，此时的取值范围为.
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