2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第39章   猜想、规律与探索
一 选择题
1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（   ）
 A.28         B.56          C.60        D. 124
【答案】. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是    ▲    ．
【答案】
4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有         个小圆. （用含 n 的代数式表示）
【答案】或
. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1			
② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1			
④                           
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
【答案】解：⑴；  
⑵答案不唯一.如；      
            ⑶                                       
.
6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是      ，它是自然数     的平方，第8行共有     个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是       ，最后一个数是        ，第n行共有       个数；
（3）求第n行各数之和．【解】，，；
  （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
二 填空题
1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
【答案】15
2. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星AnFnBnDnCnE nF n的面积为       .
【答案】
【答案】
4. （2011广东湛江20,4分）已知：,[来源:学科网]
,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算               （直接写出计算结果），并比较        （填“”或“”或“=”）
【答案】
 ＝1－； ＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝                  ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：＋＋＋…＋ .
【答案】（1）	1分[来源:Zxxk.Com]
2）证明：－＝－＝＝.	3分
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
         ＝.	………………5分[来源:学科网ZXXK]. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：
如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。
证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，[来源:Zxxk.Com]
∴∠1=∠2.
又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。
∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。
∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。
∴∠5=10°-∠6=120°。………………②
由①②得∠MCN=∠5.
在△AEM和△MCN中，
∵__________,____________,___________,
∴△AEM≌△MCN（ASA）。
∴AM=MN.
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）
【答案】。
3. （2011四川成都，23,4分）设,,…, 
设，则S= (用含的代数式表示，其中为正整数)．【答案】==
=[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴S=+++…+.
接下去利用拆项法即可求和．
4. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：
(1)观察并猜想：[来源:Z&xx&k.Com]
12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)
12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+                
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+                         
=(1+2+3+4)+(                                   )
……
(2)归纳结论：
12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n—1)]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n
=(                       ) +[                                ][来源:Zxxk.Com]
=                       +                                  
=×                      
(3)实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是               ．
【答案】（1+3）×4
4+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n
n(n+1)(n—1)
n(n+1)(2n+1)
5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是      ，它是自然数     的平方，第8行共有     个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是       ，最后一个数是        ，第n行共有       个数；
（3）求第n行各数之和．【解】，，；
  （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
6. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
（1）根据上面的规律，写出的展开式。[来源:学+科+网]
（2）利用上面的规律计算：
【答案】 
       ⑵原式=
             =
             =1      
        注：不用以上规律计算不给分.
7. （2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。
【答案】。
   证明： ∵四边形ABCD是平行四边形      
          ∴，∥ 
          ∴ 
          在和
          ∴≌  
          ∴，
          ∴∥
即 。[来源:max.book118.com]

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