第23章 等腰三角形
一、选择题
1. （2011浙江省，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　 　）
（A）			（B）			（C）			（D）
【答案】B
2. 如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（   ）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
【答案】D
3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，     
四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交     
CE于点G，连结BE. 下列结论中：
① CE=BD；        ② △ADC是等腰直角三角形；
③ ∠ADB=∠AEB；  ④ CD·AE=EF·CG；
一定正确的结论有
A．1个	      B．2个	    C．3个       D．4个
【答案】
4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、
于D、E两点，并连接、．若∠A=30°，＝，则∠BDE的度数为何？
A． 45        B． 52．5       C． 67．5        D． 75
【答案】Ｃ
5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？
A．2：1      B． 3：2     C． 4：3     D． 5：4
【答案】Ｃ
6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是
    A．15cm                                 B．16cm   
C．17cm                                 D．16cm或17cm
【答案】D
7. 中，，，点 为的中点，，垂足为点，则等于（　　） 
A．　　  B．    　　C．　　   D． 
【答案】
1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.
【答案】cm
2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为                   .
【答案】4或6
3. （2011浙江杭州16，4）在等腰R△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线∥AB，F是上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为        ．
【答案】
4. 【答案】80o
5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC中，AB=AC，，则△ABC的外角∠BCD＝　　．
【答案】110
6. 
【答案】
7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则           ．
【答案】
8. 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.
【答案】4
9. 如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B…按此规律上去，记∠A B B=，∠，…，∠
则=             ；    =                。
【答案】⑴
10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。
【答案】
11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．
（第15题图）
    【答案】
12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝            度．
【答案】15 
三、解答题
1. （2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有        及        ；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
【解】，即，
所以，
（3）当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH
∵AG＜AC，∴AG＜GH
又AH＞AG，AH＞GH
此时，△AGH不可能是等腰三角形；
当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；
此时，GC=，即x=
当CG＞时，由（1）可知△AGC∽△HGA
所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH
若AG=AH，则AC=CG，此时x=9
综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．
2. （2011山东德州19,8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；(2) 连接OAOA，BC的关系并说明理由．
（1）证明：在△ACD与△ABE中
∴ △ACD≌△ABE．…………………… 分
∴ AD=AE．  ……………………4分
(2) 互相垂直    ……………………5分在△ADO与△A中，
AD=AE，∴ △ADO≌△AEO．……………………………………6分
∴ ∠AO=∠EAO．
即OA是∠BAC的平分线．………………………………………7分  
∴ OA⊥BC．       ………………………………………8分
3. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD
 【答案】（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15o，
∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，
∴BD=AD，△BDC≌△ADC， 
∠DCA=∠DCB=45o．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；
（2）∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD． 
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．                    
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．
4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
【答案】
5. （2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.
要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. 
图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则       ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，         . 
求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.
.如图乙，设，则由题意，得
又
甲种剪法所得的正方形的面积更大
说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为的中点，
解法2：如图甲，由题意得
如图乙，设
甲种剪法所得的正方形的面积更大
(2)
(3)
(3)解法1：探索规律可知：‘
剩余三角形的面积和为：
解法2：由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为
第二次剪取后剩余三角形面积和为
第三次剪取后剩余三角形面积和为
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
       （填“ ”,“ ”
2011年中考数学试题分类23 等腰三角形.doc