第42章 学科结合与高中衔接问题
一、选择题
1. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、于D、E两点，并连接、．若∠A=30，＝，则∠BDE的度数为何？
A． 45        B． 52．5       C． 67．5        D． 75
【答案】Ｃ
2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（      ）
A．    			    B．    			    C．    			   D．
【答案】C
3. （2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（     ）
A．			    B．              C．             	D． 
【答案】A
3. （2011重庆市潼南,10,4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的
直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长
度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分
别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是
【答案】C
4. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的，若在此三角形内找一点O，使得、、的面积均相等。判断下列作法何者正确？
A． 作中线，再取的中点O                                
B． 分别作中线、，再取此两中线的交点O
C． 分别作、的中垂线，再取此两中垂线的交点O
D． 分别作、的角平分线，再取此两角平分线的交点O
【答案】B
二、填空题
三、解答题
1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
⑴ 求点C的坐标；
⑵ 若抛物线经过点C．
     ①求抛物线的解析式；
     ②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°,而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO，又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2，∴点C的坐标为(3,－1)
(2)①∵抛物线经过点C(3,－1)，∴,解得
∴抛物线的解析式为
解法一：② i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点,使,则△是以AB为直角边的等腰直角三角形,
如果点在抛物线上,则满足条件,过点作⊥轴, ∵＝,∠＝∠，∠＝∠＝90°,  ∴△≌△，∴AE＝AD＝2, ＝CD＝1,
∴可求得的坐标为(－1,1)，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件；
ii） 当B点为直角顶点时，
过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△
∴ BF＝OA＝1，可得点的坐标为（－2，－1），经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件．同理可得点的坐标为（2，－3），经检验点不在抛物线上．
综上：抛物线上存在点(－1,1)，（－2，－1）两点，使得△和△
是以AB为直角边的等腰直角三角形．
解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分）
i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为 
由解之可得(－1,1)  （已知点C除外）作⊥x轴于E,则AE＝2, ＝1, 由勾股定理有又∵AB＝,∴，∴△是以AB为直角边的等腰三角形；
ii）当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点和点，易求出直线L的解析式为，由解得或
∴(－2,－1)，（4，－4）作⊥y轴于F，同理可求得
∴△是以AB为直角边的等腰三角形作⊥y轴于H，可求得，∴Rt△不是等腰直角三角形，∴点不满足条件．
综上：抛物线上存在点(－1,1)，（－2，－1）两点，使得△和△ 是以角AB为直边的等腰直角三角形．
2. （2011广东省，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.
【解】（1）把x=0代入，得
把x=3代入，得，
   ∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）
设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到和
分别得到点M、N的纵坐标为和
∴MN=-（）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由，得
即当时，四边形BCMN为平行四边形
当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当时，平行四边形BCMN为菱形．
3. （2011湖南怀化，24，10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.
求证：AE×AO=BF×BO；
若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由.
【答案】
(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.
(2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数得k=8，
所以反比例函数的解析式为.
∵OB=6，∴当x=6时，y=，点F的坐标为（6，）.
设过点O、E、F三点的二次函数表达式为，将点O（0，0），E（2、4），F（6，）三点的坐标代入表达式得：
           解得
∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.
如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H.
设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m
由（1）得AE×AO=BF×BO  ∴(6-n)×4=(4-m)×6  ,解得n=1.5m.
由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=1.5m，∠EC′F=∠C=90°
在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，
又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90°   
∴∠C′EH=FC′B     
∵∠EHC′=C′BF=90°
∴△EC′H∽△C′FB，∴
∴，
∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4  ∴C′B=.
在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F2=BF2+C′B2，即m2=(4-m)2+
解得：m=
BF=4-=,
在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即OF2=62+=.
∴OF=
∴存在这样的点F，OF=,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.
4. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是             ；当t=3时，正方形EFGH的边长是             ；
(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)2；6；
(2) 当0＜t≤时（如图），求S与t的函数关系式是：S==(2t)2=4t2；
   当＜t≤时（如图），求S与t的函数关系式是：S=-S△HMN=4t2-××[2t-(2-t)] 2 =t2+t-；
当＜t≤2时（如图），求S与t的函数关系式是：S= S△ARF -S△AQE =×(2+t) 
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