中考复习之二次根式的概念
知识考点：
数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，二次根式是初中代数的重要基础，应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。
精典例题：
【例1】填空题：
（1）的平方根是          ；的算术平方根是          ；的算术平方根是          ；的立方根是          。
（2）若是的立方根，则＝        ；若的平方根是±6，则＝    。
（3）若有意义，则          ；若有意义，则         。
（4）若，则          ；若，则          ；若，则        ；若有意义，则的取值范围是          ；
（5）若有意义，则＝          。
（6）若＜0，则＝          ；若＜0，化简＝          。
答案：（1），，，；（2），6；（3）≤，≠2；
     （4）≤0，≥，＜0，≥－1且≠0；（5）；
     （6），
【例2】选择题：
1、式子成立的条件是（    ）
A、≥3        B、≤1            C、1≤≤3      D、1＜≤3
2、下列等式不成立的是（    ）
    A、    B、     C、      D、
3、若＜2，化简的正确结果是（    ）
    A、－1              B、1            C、            D、
4、式子（＞0）化简的结果是（    ）
    A、      B、        C、          D、
    答案：DDDA
【例3】解答题：
（1）已知，求的值。
（2）设、都是实数，且满足，求的值。
分析：解决题（1）的问题，一般不需要将的值求出，可将等式两边同时平方，可求得，再求的值，开方即得所求代数式的值；题（2）中，由被开方数是非负数得，但分母，故，代入原等式求得的值。
略解：（1）由得：，
          故
         （2）    解得，
              ∴＝1
探索与创新：
【问题一】最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由。
分析：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，不是同类二次根式。
略解：假设他们是同类根式，则有：
            解得
      把代入两根式皆为无意义，故它们不能是同类根式。
【问题二】观察下面各式及其验证过程：
（1）
     验证：
（2）
     验证：
（3）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（4）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且≥2）表示的等式，并给出证明。
分析：本题是一道常见的探索性题型，通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析，类比得出用表示的等式：
    解答过程略。
跟踪训练：
一、填空题：
1、的平方根是          ；的算术平方根是          ；的立方根是          ；
2、当         时，无意义；有意义的条件是          。
3、如果的平方根是±2，那么＝          。
4、最简二次根式与是同类二次根式，则＝      ，＝     。
5、如果，则、应满足                    。
6、把根号外的因式移到根号内：＝          ；当＞0时，＝        ；＝        。
7、若，则＝            。
8、若＜0，化简：＝          。
二、选择题：
1、如果一个数的平方根与它的立方根相同，那么这个数是（    ）
    A、±1                B、0              C、1              D、0和1
2、在、、、、中，最简二次根式的个数是（    ）
    A、1                B、2                C、3              D、4
3、下列说法正确的是（    ）
    A、0没有平方根                      B、－1的平方根是－1
C、4的平方根是－2                   D、的算术平方根是3
4、的算术平方根是（    ）
A、6              B、－6            C、          D、
5、对于任意实数，下列等式成立的是（    ）
A、      B、        C、      D、
6、设的小数部分为，则的值是（    ）
A、1        B、是一个无理数          C、3          D、无法确定
7、若，则的值是（    ）
A、        B、            C、2          D、
8、如果1≤≤，则的值是（    ）
A、          B、            C、        D、1
9、二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（    ）
    A、①②            B、③④⑤        C、②③          D、只有④
三、计算题：
    1、；
    2、；
    3、。
四、若、为实数，且＜，化简：。
五、如果的小数部分是，的小数部分是，试求的值。
六、已知是的算术平方根，是的立方根，求A＋B的次方根的值。
七、已知正数和，有下列命题：
    （1）若，则≤1；
    （2）若，则≤；
    （3）若，则≤3；
     根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则≤        。
八、由下列等式：＝2 ，＝3 ，＝4 ，……所提示的规律，可得出一般的结论是                        。
九、阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。
    已知为实数，化简：
    解：原式＝
            ＝
参考答案
一、填空题：
    1、±21，，；2、，≤2且≠－8；3、16；4、1，1；
5、≤且≥0；6、，，；7、0.12；8、
二、选择题：BADCD，CCDA
三、解答题：
    1、－0.55；2、35；3、
四、＝2，＜2，原式＝3
五、
六、＝2，＝3，A＝2，B＝－1；
    当为奇数时，A＋B的次方根为1；当为偶数时，A＋B的次方根为±1；
七、
八、＝ （为大于1的自然数）
九、不正确，正确解答是：原式＝＝
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