第十一讲 线段与角
　　线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．
　　200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？
　　在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？
　　2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？
　　我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．
　　1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．
　　EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．
　　AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而
EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，
　　2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．
　　C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．
　　C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则
　　MN=AM-AN=5-1=4()(如图1－7(a))．
　　C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时
　　MN=NA+AM=1+5=6()(如图 1－7(b))．
　　线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．
　　3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后， 折到B处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？
　　l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．
　　因此，羊群行走的路程为
A＇C＇+C＇B．
　　A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．
　　A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明
　　AC+C＇B＞AC+CB ①
　　即可．
　　利用线段基本性质及点关于直线的对称性知
AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，
　　所以
AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，
AC+CB=CA＇+CB=A＇B．
　　C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以
C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，
　　C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．
　　4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
　　AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，
AB＜BC+CD+DE+EA．
　　AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．
　　AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．
　　5 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．
　　90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为
(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．
　　所以
360°-2α=630°-7α，5α=270°，
　　=54°．从而，这个角的邻补角为
180°-54°=126°．
　　6 若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？
　　360°，而时针转动
　　2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了
4×30°=120°．
　　在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关
　　)．
　　7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？
　　 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．
　　150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以
150°+α=12α，
　　(分)针的转动速度．
　　下面再看一例．
　　8 在4点与5点之间，时针与分针在何时
　　(1)120°(图1－12)；
　　(2)90°(图1－12)．
　　 (1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．
　　120°，这个时间正是我们所要求的．
　　a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则
12a=120°+a+120°，
　　30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1
经过了
　　(2)1－13(a)，(b)所示．
　　4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况　：
　　(i)(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有
120°+α=90°+12α，
　　 　　　　　　　　　　　　　　11=30°，
　　(ii)(如图1－13(b))，此时，有关系
12α-α=120°+90°，
11α=210°，
　　间时，时针与分针成90°． 
练习十一
　　11－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．
　　21－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．
　　31－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？
　　428°，求其中一个角的余角．
　　51－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．
　　66点到7点之间，时针与分针何时成90°角？
　　74点到6点之间，时针与分针何时成120°角？

初一数学竞赛辅导（第11讲）.doc