第十二讲 平行线问题
　　平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．
　　正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．
　　(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．
　　现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．
　　在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．
　　1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°
．
　　a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=
过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．
　　C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．
　　AC平分∠1，BC平分∠2，所以
　　3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
　　a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”
　　(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．
　　2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
　　A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
　　B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．
　　B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．
　　AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，
　　所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，
　　A1-∠B1+∠A2=0．
　　(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
　　(=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
　　进一步可以推广为
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠Bn-1+∠An=0．
　　A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1∥BAn)．
　　推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．
　　(2)　　1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？
　　2 如图1－25所示．若
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？
　　这两个问题请同学加以思考．
　　3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，
　　C．
　　1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．
　　F到 FG∥CB，交 AB于G，则
∠C=∠AFG(同位角相等)，
∠2=∠BFG(内错角相等)．
　　 AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(内错角相等)，
　　所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG
=∠1-∠2=3∠2-∠2
=2∠2=50°．
　　(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．
　　(2)1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
　　4 求证：三角形内角之和等于180°．
　　180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种．
　　1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则
∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．
　　1+∠BAC+∠2=平角，
　　A+∠B+∠C=180°．
　　5 求证：四边形内角和等于360°．
　　3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．
　　 1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，
　　ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．
　　2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
　　(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．
　　(2)3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：
三角形内角和=180°=(3-2)×180°，
四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
　　人们不禁会猜想：
五边形内角和=(5-2)×180°=540°，
…………………………
n边形内角和=(n-2)×180°．
　　这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．
　　(3)　　6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．
　　A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．
　　B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．
　　1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，
　　ABC=180°=平角．
　　AB，C三点共线．
　　l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？
　　7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
　　　　求证：∠3=∠B．
　　3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．
　　1=∠2，所以
AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
　　D=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．
　　BC∥EF(平行公理)，
　　所以
∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．
练习十二
　　11－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
　　21－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．
　　31－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？
　　4540°．
　　51－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．

初一数学竞赛辅导（第12讲）.doc