第十四讲 面积问题
　　我们已经学过的面积公式有：
　　 (2)S=ah(其中h表示a边上的高)．
　　h表示平行边之间的距离)．
　　由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．
　　等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．
　　等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．
　　三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3．求a∶b∶c．
　　ABC的面积为S，则
　　2 如图1－51，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．
　　CEF的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此，应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底(高)比来解决．
　　AC．E为AB中点，所以
　　同理可得
S△cDF=16(平方厘米)．
　　DE，DB，F为AD中点，所以
　　从而
S△cEF=SaBCD-S△aEF-S△bCE-S△cDF
=64-16-16-8=24(平方厘米)．
　　 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．
　　(2)
　　DEF面积有困难，观察图形，发现△DEF与△DCF有共同的顶点D，其底边在同一条直线上，因而，高相同．所以
　　DEF的面积就转化为求△DCF的面积．用同样的办法可将△DCF的面积转化为△ADC的面积，进而转化为△ABC的面积．
　　点D，且底边EF，CF在
　　同一条直线上，
EF∶CF=2∶3，
　　DCF与△DCA有共同的顶点C，且底边DF，DA在同一条直线上，由已知DF∶DA=2∶3，
　 4 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
　　1－53所示．设E，F分别是AB，AC的中点，可求得△EBC与△FBC的面积相等(均为△ABC面积的一半)．由于这两个三角形同底BC，因而这两个三角形的顶点E，F在一条与底边BC平行的直线上，所以EF∥BC．
　　 (1)从证题过程看出，条件“E，F是所在边的中点”可
　　 S△cBE=S△bCF．
　　BC，因此，它们的顶点E，F的连线与底边平行．
　　(2)ABC中，若EF∥BC且AE∶EB=m，则AF∶FC=m(请同学们自己证明)．
　　5 如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD∶DC=2∶3，BD与CE交于F， S△ABC=40，求SAEFD．
　　 AEFD可分割为△AED与△DEF．从E是AB中点及D分AC为2∶3的条件看，△AED的面积不难推知，关键是如何推求△DEF的面积．为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△DEF的面积与已知面积的关系．
　　AD的中点G，并连接EG，在△ABD中，E是AB的中点，由例3知EG∥BD．又CD∶DG=3∶1，从而，在△CEG中，
　　CFFE=CD∶DG=3∶1(例3说明(2))，
　　 S△DFC∶S△DFE=3∶1．
设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于
AD∶DC=2∶3，
　　所以
S△EAD∶S△ECD=2∶3，
　　E是AB中点，所以
SaEFD=S△aDE+S△DEF=8+3=11．
　　DEF的面积与已知的△ABC的面积“挂上了钩”．这里取AD的中点G，得到BD的平行线EG是关键． 
　　6 如图1-55所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
　　C作CG⊥BE于G，CH⊥FD于H，则CG，CH分别是C到BE，DF的距离，问题就是要证明CG=CH．结合已知，BE=DF，可以断言，△BCE的面积等于△CDF的面积．由于这两个三角形的面积都等于ABCD面积的一半，因此它们等积，问题获解．
　　CF，CE．因为
　　 S△bCE=S△cDF．
　　BE=DF，所以
CG=CH(CG，CH分别表示BE，DF上的高)，
　　C点到BE和DF的距离相等．
　　(1)△BCE与△CDF是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面积相等正是通过等积变形——都等于同一平行四边形的面积之半．
　　(2)
练习十四
　　11－56所示．在△ABC中，EF∥BC，且AE∶EB=m，求证：AF∶FC=m．
　　2 1－57所示．在梯形 ABCD中， AB∥CD．若△DC
　　31－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
　　41－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．
　　51－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE∥DB，OF∥AC且分别交直线BC于E，F．求证：BE=CF．
　　61－61所示．P是△ABC的AC边的中点，PQ⊥AC交AB延长线于Q，BR⊥AC于R．

初一数学竞赛辅导（第14讲）.doc