第十三讲 从三角形内角和谈起
　　180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质．从它出发可引出下面两个事实：
　　(1)
　　1－35所示．延长三角形的三条边，由三角形一条边
及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角．如图1－35中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于
∠1+∠ABC=180°(平角)，
　　又
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
　　所以
∠1=∠BAC+∠BCA．
　　同法可证
∠3=∠BAC+∠ABC，
∠5=∠ABC+∠ACB．
　　(2)n(n-2)×180°．
　　1－36所示．以n边形A1A2…An的某一个顶点(如A1)为共同顶点，将这个n边形“分割成” n-2个三角形△A1A2A3，△A1A3A4，…， △A1An-1An．由于每一个三角形的内角和等于180°，所以，这n-2个三角形的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)×180°(详证见后面例 6)．
　　180°这个事实有着广泛的应用．
　　1 如图1－37所示．平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
　　P，Q，R处的三个内角，由图形结构不难看出，这三个内角可以集中到△PQR中．
　　PAB，△RCD，△QEF中，
∠A+∠B+∠APB=180°， ①
∠C+∠D+∠CRD=180°， ②
∠E+∠F+∠EQF=180°． ③
　　PQR中
∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°．④
　　APB=∠QPR，∠CRD=∠PRQ，
∠EQF=∠PQR(对顶角相等)．
　　+②+③-④得
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
　　2 求如图1－38所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
∠ABE=∠ABO+∠OBE，
∠AEB=∠AED+∠OEB．
　　ABE，∠AEB属于△ABE，∠OBE，∠OEB属于△OBE，再注意到△OBE及△ODC中，因∠BOE=∠COD(对顶角)，因而， ∠D+∠C=∠OBE+∠OEB．从而，可求出题中五角和．
　　1 连接BE．在△COD中，
∠C+∠D+∠COD=180°． ①
　　ABE中，
∠A+∠ABE+∠AEB=180°． ②
　　+②得
(∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=360°． ③
　　又
∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE，
∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB．
　　故③式可化为
(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)
+(∠COD+∠OBE+∠OEB)=360°．④
　　由于
∠COD=∠BOE(对顶角相等)，
　　BOE中
∠COD+∠OBE+∠OEB
=∠BOE+∠OBE+∠OEB
＝180°．
　　A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
　　2 如果我们注意到三角形外角的性质，结合图形(图1－39)会发现在△OCD中有∠1=∠C+∠D，△APE中∠2=∠A+∠E，在△BOP中∠1+∠2+∠B=180°，从而有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
　　2比解法1简洁，因为我们应用了关于三角形外角的性质．
　　3 如图1－40所示．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D=30°．求∠A的度数．
　　D位于△BCD中，∠A位于△ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形内角和定理解决问题，就必须寻求两个三角形中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上∠
　　D=30°．在△BCD中，
∠CBD+∠BCD=180°-30°=150°．①
　　BD是∠ABC的平分线，所以
　　CD是∠ACE的平分线，所以
　　从而
　　由①，②，③
　　即
　　所以
　　A=60°．
　　ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡．细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提．
　　4 如图1-41所示．∠A=10°，∠ABC=90°，
　　∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数． 
　　ACB=∠DCE中，∠ACB是△ABC的一个内角，∠DCE是△ACD的外角．∠ADC=∠EDF及∠CED=∠FEG两个等式两边的角也是类似情况，这就为我们利用外角定理解题创造了机会．
　　ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，所以∠ACB＝80°．因为
∠DCE=∠ACB=80°，
　　ACD中，∠DCE是它的一个外角，所以
∠DCE=∠A+∠ADC，
80°=10°+∠ADC，
　　所以
∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°．
　　ADE中，∠EDF是它的一个外角，所以
∠EDF=∠A+∠AED，
70°=10°+∠AED，
　　所以
∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°．
　　AEF中，∠FEG是它的一个外角，所以
∠FEG=∠A+∠F，
　　所以
∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°．
　　5 如图1－42所示．△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D．求证：∠BAC＞∠B．
　　BAC是△ACD的一个外角，因为∠BAC=∠1+∠D，所以2∠BAC=2∠1+2∠D=∠ACE+2∠D＞∠ACE①(因为CD是∠ACE的平分线)．又∠ACE是△ABC的一个外角，所以
∠ACE=∠B+∠BAC． ②
　　由②，③
2∠BAC＞∠B+∠BAC，
　　BAC＞∠B．
　　n(n≥3的自然数)边形的内角和．
　　6 n边形的内角和等于(n-2)·180°．
　　n=4时，如图1－43所示．四边形ABCD用一条对角线可以分割成两个三角形，因此
　　　　　　　ABCD的内角和=三角形ABC的内角和+三角形ACD的内角和
　　　　　　　=2180°=360°．
　　n=5时，如图1－44所示．五边形ABCDE用两条对角线可以分割为三个三角形．类似于n=4的情况，可证明：五边形ABCDE的内角和=3×180°=540°．
　　n边形的内角和的证明方法．
　　n边形A1A2A3…An中，以A1为一个端点，连接对角线A1A3，A1A4，…，A1An-1，共有(n-1)-3+1=n-3条对角线，将这个n边形分割成n-2个三角形．显然，这n-2个三角形的内角“合并”起来恰是这个n边形的n个内角，如图1-45所示．所以
n边形的内角和=(n-2)×180°．
　　(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路．如本题从n=4，5入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到n为任意自然数的范围中去．
　　(2)n边形每一个内角的大小．
　　n边形的一个内角大小为a，则
n边形的内角和=na=(n-2)×180°，
　　所以
　　例如正五边形的内角的度数为
　　正十边形的内角度数为
练习十三
　　11－46所示．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
　　2 1－47所示．求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
　　31－48所示．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．
　　41-49所示．求∠a+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的大小．
　　51－50所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：∠ACD＞∠B．
　　6
　　 (1)1260(2)2160°．
　　7n边形的外角和等于360°．

初一数学竞赛辅导（第13讲）.doc