初一数学竞赛系列讲座(12)
相交线、平行线
一、知识要点：
平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。
垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。
利用平行公理及其推论证明或求解。
二、例题精讲
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
解：∵　a∥b，
∴　∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
∴　∠1＝∠2  (等式性质)
则　3x+70＝5x+22　解得x=24   
即∠1＝142°　
∴　∠3＝180°-∠1＝38°                             图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。
例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。
解：∵AB∥EF∥CD 
    ∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）
    ∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）
    即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）
则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B-∠D=24°（已知）                                 图(2)
∴∠B=60°（等式性质）             
即∠BEF=60°（等量代换）    
∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分线定义）
例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
解：过E作EF∥AB
∵　AB∥CD（已知）
∴　EF∥CD（平行公理）
∴　∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）
∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF 
∴　∠DEB =∠D-∠B=30° 
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3）
例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，
求证：ha+hb+hc＜a+b+c
分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段
证明：由垂线段最短知，ha＜c ，hb＜a，hc＜b
　　　以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c
研究垂直关系应掌握好垂线的性质。
以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
垂线段最短。　　
例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EF(AB于F，GH(CD于H，
求证EF与GH必相交。
分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。
证明：假设EF与GH不相交。
　∵　EF、GH是两条不同的直线
　∴　EF∥GH
　∵　EF(AB　　
∴　GH(AB
　又因GH(CD　故AB∥CD (垂直于同一直线的两直线平行)　　　　　　图（4）
　这与已知AB和CD相交矛盾。
　所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交
评注：本题应用结论：
(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。
(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；
例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
…
则　n条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=n(n-1)
评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条
评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)
例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；
同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
…
∴  10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域
思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
例9．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于
证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角×2＝n(n-1)对，即2n(n-1)个角
平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，
这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：(1、(2、(3、…、(2n
由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。
若这2n个角均大于，则(1+(2+(3+…+(2n ＞2n×=360°,
而  (1+(2+(3+…+(2n =360°,产生矛盾
故　(1、(2、(3、…、(2n中至少有一个小于，
即　原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于
评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。
例10．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。
（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
解：（a）在平面上任取一点A。
过A作两直线m1与n1。在n1 上取两点B，C，在m1上取两点D，G。过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。
（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。
　　理由如下：
假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点。
根据直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为＝10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。
所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。
三、巩固练习
选择题
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条
A．6　B． 7　　C．8　　D．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　）
A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　）
A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条
4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（   ）
  （A）9      （B）10        （C）11      （D）12
5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　）
A．4对　　B．8对　　C．12对　　D．16对
6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=(       )
A．90°　　B．135°　　C．150°　　D．180°
            第7题    
7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系               ；
8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还
有       交点
9．平面上3条直线最多可分平面为       个部分。
10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS(GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝       。
11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是    。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过        个。
13．
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