初一数学竞赛系列讲座(13)
角的认识
知识要点
具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。
与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。
例题精讲
如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分(AOD，OE在(BOC内，(BOE＝(EOC，(DOE＝70°，求(EOC的度数。
分析：易得(EOC＝(BOC，而(BOC +(AOB＝180°，结合OD平分(AOB，可作(BOC平分线，结合(DOE可求出(BOC，从而求(EOC的度数
解：作(BOC平分线OF，则
(BOF＝(COF＝(BOC
∵　OD平分(AOB
∴　(AOD＝(DOB＝(AOB
又∵　(BOC +(AOB＝180°
∴　(DOB+(BOF＝90°　即　(DOF＝90°
∴　(EOF＝(DOF-(DOE＝20°
又∵　(EOF＝(BOF-(BOE
而(BOF＝(BOC，(BOE＝(BOC
∴(EOF＝(BOC-(BOC＝(BOC
∴(BOC＝6(EOF＝120°
∴(EOC＝(BOC＝×120°＝80°
即　(EOC＝80°
一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（　　　　）
A．锐角　　B．直角　　C．钝角　　D．不能确定
分析：设该锐角为(，它的余角（90°-(）的补角(应为180°-（90°-(）＝90°+(，(与(的差（90°+(）-(＝90°　　故选B
已知((的余角是((的补角的，((＞110°，求((的范围。
分析：显然((是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出((与((的关系，再由((的范围，可求出((的范围。
解：((的余角为90°-(，((的补角为180°-(
由题意，得90°-(＝（180°-(）
∴　　(＝5(-270°
∵　　((＞110°
∴　　5(-270°＞110°  ∴　　(＞76°
又由条件知((为锐角　　∴　(＜90°
故((的范围是76°＜(＜90°
评注：本例把((转化到((进而求出((的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略(＜90°这一条件。
当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°
评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)
=300°-85°=215°＞180°
则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°
（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。
如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，∠BOC是∠AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。
解：∠AOB=30°+45°=75°
∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15°
∴OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°
评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。
如共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，
所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。
评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。
解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，则每一个角对应于A1 A10上的某一条线段。反过来，A1 A10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1 A10上的线段数即可，
而A1 A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条
因此，图中共有45个角
求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。
证明：如图，AB、CD相交于O，则(AOC与(BOD成对顶角。设OE、OF分别为(AOC、(BOD的平分线，
∵  (AOE=(AOC  (BOF=(BOD 
 且 (AOC=(BOD
∴  (AOE=(BOF
又∵ (BOF+(FOD+(DOA=180°
∴ (AOE+(FOD+(DOA=180°
即 (EOF=180°
∴ OE、OF在同一直线上。
评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题
已知：直角(AOB，以点O为端点在(AOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？
解：设以O为端点在(AOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995
则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995）
以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，…，OP1995，OB）
以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，…，OP1995，OB）
……
以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB）
∴　共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个）
巩固练习
选择题
1、两个角的补角互余，则这两个角的和的大小是
A.180°  B.135°   C. 270°  D.90°
2、如图，OM是(AOB的平分线，射线OC在(BOM内部，ON是(BOC的平分线，已知(AOC＝80°，则(MON为　（　　　）
A．30°　B．40°　C．45°　　D．50°
3、已知一个直角∠以为端点在∠的内部画10条射线，以以及这些射线为边构成的锐角的个数是（  ）个。
（A）110      （B）132      （C）66      （D）65
4、O是直线AB上的一点，(AOD＝120°，CO(AB于O ，OE是(BOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（　　）
A．4对　　B．5对　　C．6对　　D．7对
5、一张长方形的纸如图将角折起到处，作∠EFB的平分线，则∠的大小是（  ）
  （A）锐角     （B）直角    （C）钝角    （D）无法确定
6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（　　）
A．110°　　B．130°　　C．120°　　D．150°                     第5题
填空题
7．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。
8．如图，是一条直线，，OB、OD分别是角平分线则图中的钝角共有＿＿个。
9．不相等的两角和的两边分别平行，其中角比角的3倍少20，则的大小是＿＿＿。                                    第8题
10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在
                  。
11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，…，12001，则可形成         对以O为顶点的对顶角。
12、图中三角形的个数是　　　　　。
解答题     
13、一个角的余角的2倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数。    (第12题)
14、如图所示的五角星形中
共可数出多少个三角形。
15、ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0°小于180°的角有多少个？
第15 题
16、如图，求(A+(B+(C+(D+(E+(F的值。
17、如图，BE、DE是(ABC、(ADC的角平分线
   求证：(E=((A+(C)
18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？
19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。
20、已知(AOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？

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