初一数学竞赛系列讲座(16)
逻辑原理
知识要点
逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义。
例题精讲
例1 小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖。现在知道：
小明不是金城的选手；
小强不是沙市的选手；
金城的选手不是一等奖；
沙市的选手得二等奖；
小强不是三等奖。
根据上述情况，小华是        的选手，他得的是       等奖。(第三届迎春杯决赛试题)
分析：显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了。
解：由(4)知：金城的选手获一等奖或三等奖，又由(3)得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖。
    由(2)知：小强是金城或水乡的选手，又由(5)得小强是水乡的选手，
    由(1)得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖。
例2 教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。经了解，椅子是A、B、C三人中的一个人修好的，老师找来这三人。
     A说：“是B做的。”
     B说：“不是我做的。”
     C说：“不是我做的。”
     经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？
分析：因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。
解：(1) 假设椅子是A修好的，那么A说的是假话，B、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。
(2) 假设椅子是B修好的，那么B说的是假话，A、C说的都是实话。这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是A修好的。
(3) 假设椅子是C修好的，那么A、C说的是假话，B说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是C修好的。
评注：本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确。这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。
例3 赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。
赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；
赵年龄比孙大；
赵在教李打太极拳；
教师每天步行上班；
售货员的邻居不是个体户；
个体户和工人互不认识；
个体户比售货员和工人年龄都大。
解：由(4)和(1)可知，赵、钱不是教师。由(2)和(7)知，孙不是个体户。因为假设孙是个体户，则由(2)和(7)知，赵不是售货员，不是工人；由(4)和(1)可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾。于是我们可得出下表：
	售货员	工人	教师	个体户		赵			(			钱			(			孙				(		李						    
假设赵是工人，个体户是钱或李，由(6)可知，赵与钱或李应互不认识，这与(1)、(3)相矛盾，这样可知赵不是工人。
又假设赵是个体户，由(1)、(3)、(6)可知，孙是工人，钱是售货员，但又与(5)矛盾，所以赵是售货员。这样又可得出下表：
	售货员	工人	教师	个体户		赵	√	(	(			钱	(		(			孙	(			(		李	(					
根据(1)、(5)继续分析，把上面的表格填满，可得：钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户。如下表：
	售货员	工人	教师	个体户		赵	√	(	(	(		钱	(	√	(	(		孙	(	(	√	(		李	(	(	(	√		    
最后得：赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户。
评注：分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然。在填表时通常把正确的结论打“√”，错误的打“(”。这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰。
例4今有棋子100颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取p颗，p为1或20以内的任一质数，不能不取。谁最后取完谁为胜者。问甲、乙两人谁有必胜的策略。
解：乙有必胜的策略。
由于p为1或20以内的任一质数，所以p或者是2，或者可以表示为4 k +1或 4 k +3(k为0或正整数)形式，乙可以采取如下的策略：
若甲取2颗，则乙也取2颗；
若甲取4 k +1颗，则乙取3颗；
若甲取4 k +3颗，则乙取1颗；
这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是4的倍数。由于100是4的倍数，因此余下的棋子数必定还是4的倍数。从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过20的4的倍数。因为p不是4的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子。
评注：本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略。而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜。由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可。
例5 有三堆小石子。每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作，取走的小石子数目可以不同)，或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上。开始时，第一堆有小石子1989块，第二堆有小石子989块，第三堆有小石子89块。能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩？   (2) 三堆小石子都一个不剩？(第十五届全俄数学奥林匹克试题)
分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了。
     (2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。
解：(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。
       (1989，989，89) ( (1900，900，0) ( (1900，450，450) ( (1450，0，0)
(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除。
   而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光。
评注：本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析，抓住关键。
例6 人的血型通常为A型、B型、O型、AB型。子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：
父母的血型            子女可能的血型
                 O、O	    O
O、A	A、O
	O、B	         B、O
 	O、AB	         A、B
	A、A	         A、O
	A、B                   A、B、AB、O
	A、AB	              A、B、AB
	B、B	          B、O
	B、AB	               A、B、AB
	AB、AB	               A、B、AB
    现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O、A、B。每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？(第五届华杯赛复赛试题)
分析：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这4行。又由于三种颜色的帽子分别表示AB、A、O三种血型，所以第八行也可划去。这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论。
解：因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有O、O，A、A，B、B，AB、AB符合条件。
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为AB、A、O，所以符合条件的只有O、O，A、A，AB、AB。因而，可以得出下面的简表：
父母的血型            子女可能的血型
                 O、O	    O
	A、A	        A、O
	AB、AB	             A、B、AB
从上面的简表可以看出父母的血型为O的，孩子血型一定为O，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子。
划去简表的第一行及子女血型中的O，又三个孩子中没有AB血型，所以子女血型中的AB也可划去，这样只剩第二行。
由第二行，父母的血型为A的，子女的血型一定为A，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子。
最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子。
评注：1、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法。枚举法在逻辑推理中常用。
      2、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。
例7 在某市举行的一次乒乓球比赛中,有6名选手参赛,其中专业选手与业余选手各3名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。为公平起见,用以下方法计分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一
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