初一数学竞赛系列讲座(15)
容斥原理
知识要点
1、容斥原理
   在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：
   记A、B是两个集合，属于集合A的东西有个，属于集合B的东西有个，既属于集合A又属于集合B的东西记为，有个；属于集合A或属于集合B的东西记为，有个，则有：=+-
容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，
左圆表示集合A，右圆表示集合B，两圆的公共部分表示，两圆合起来的部分表示，
由图可知：=+-
  容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。
例题精讲
例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？
分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。
解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2(1，2(2，…，2(100，共100个；
   在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3(1，3(2，…，3(66，共66个；
在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6(1，6(2，…，6(33，共33个；
所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：
200-100-66+33=67(个)
例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S。
解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050
1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：
2(1+2(2+…+2(50=2((1+2+3+…+50)= 2(1275=2550
1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：
3(1+3(2+…+3(33=3((1+2+3+…+33)= 3(561=1683
1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6(1+6(2+…+6(16=6((1+2+3+…+16)= 6(136=816
所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和
S=5050-2550-1683+816=1633
例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。
分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而
能被2、3、5整除的自然数，
   表示既能被2整除又能被3整除的自然数
   表示既能被2整除又能被5整除的自然数
   表示既能被3整除又能被5整除的自然数
   表示既能被2整除又能被3整除，还能
被5整除的自然数
由图可看出：属于A、B、C之一的数的个数为：
++-(++)+
解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250
不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166
不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100
不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83
不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50
不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33
不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16
由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：
             250+166+100-(83+50+33)+16=366
例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。
解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100
前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：
2(1+2(2+…+2(100=2((1+2+3+…+100)= 2(5050=10100
前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：
3(1+3(2+…+3(66=3((1+2+3+…+66)= 6633
前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：
5(1+5(2+…+5(40=5((1+2+3+…+40)= 4100
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6(1+6(2+…+6(33=6((1+2+3+…+33)= 3366
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10(1+10(2+…+10(33=10((1+2+3+…+20)= 2100
前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15(1+15(2+…+15(13=15((1+2+3+…+13)= 1365
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30(1+30(2+…+30(6=30((1+2+3+4+5+6)= 630
所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是
S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630
例5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
短跑	游泳	篮球	短跑、
游泳	游泳、
篮球	篮球、
短跑	短跑、游泳、篮球		17	18	15	6	6	5	2		求这个班的学生数。(第三届华杯赛复赛试题)
解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。
但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37
又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。即这个班学生数为：37+2=39。
例6 从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？(第20届全俄九年级试题)
解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，
   能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。
   而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909
   在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923
   ∴m+p  n+p   ∴m n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。
例7  50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995年华杯赛试题)
分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。
解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个， 所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。
报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。
所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。
评注：若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？
可以得出一个一般的结论：
例8 已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？
解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校高中学生，C表示团员，则有：
    =900，=528，=312，=670，
    且=192，=336，=247，=175
    这样，初中女生的非团员数是：
---+++-
=900-528-312-670+192+336+247-175= -10 0
因人数做到负数，所以数据统计有错误。
例9 从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。
分析：因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。因2002=36(55+22，说明2002是56段中的第22个数。
解：先考虑1到60的整数
    在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。
    又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个
因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。
    因为2002=36(55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。因为第一段中的第
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